Mostre que

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a média vetorial do Vetor de Poynting tem a forma que foi dada no enunciado. Isso envolve algumas ideias de Eletromagnetismo, especificamente sobre como as ondas eletromagnéticas transportam energia. Para resolver isso, vamos precisar das expressões dos campos elétrico e magnético para uma corrente oscilante e usar a definição do vetor de Poynting.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Vetor de Poynting. Ele descreve a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
onde é a permeabilidade do vácuo, é o campo elétrico e é o campo magnético. Esse produto vetorial nos mostra a direção e a quantidade de energia que está se movendo através de uma área.

Passo 3

Agora, precisamos das expressões para os campos e gerados por um dipolo elétrico oscilante. Para um dipolo oscilante com momento dipolar , as expressões dos campos em uma distância muito maior que o comprimento do dipolo são:
Aqui, é a velocidade da luz, é a frequência angular, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos calcular o produto :
Simplificando os coeficientes:
Esse produto envolve termos complexos, mas para encontrar a média, vamos considerar a parte real e média temporal.

Passo 5

Para encontrar a média do Vetor de Poynting, precisamos calcular a média temporal do produto . Sabemos que a média de ao longo do tempo é zero, mas como estamos interessados na energia transportada, consideramos a parte real e tomamos a média da amplitude:
Simplificando os termos:
Aqui, indica a direção radial da propagação da energia.

Resposta

Assim, mostramos que a média do Vetor de Poynting é:

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Em cada caso, obtenha o custo marginal e esboce os respectivos gráficos:
Se e são dois vetores, então
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções: