use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos saber como aplicar a transformada em cada termo da equação e usar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
Aqui,
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada na equação diferencial:
Isso se torna:
Passo 4
Vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Para achar
, isolamos:
Passo 7
Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da transformada:
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Substituindo
e
de volta na expressão de
:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Seja
e considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Um sólido
está contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
.
Calcule os seguintes limites laterais:
e
, onde
é dada por
.