Mostre que se lim akbk infty e sum bk diverge, então sum ak diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que, forall N, exists varepsilon: k>N Rightarrow akbk >= varepsilon.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar que, se o limite de akbk tende a infinito e a série sum bk não converge (ou seja, diverge), então a série sum ak também diverge. Para isso, vamos usar o Teorema do Teste da Comparação com Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite lim akbk infty. Isso quer dizer que, conforme k cresce, a razão entre ak e bk fica cada vez maior, chegando a infinito. Em outras palavras, para qualquer número positivo que escolhermos, a razão akbk vai ser maior que esse número quando k for suficientemente grande.

Passo 3

Usando a dica do enunciado e o que entendemos sobre o limite, podemos dizer que para todo varepsilon > 0, existe um índice N tal que para todo k > N, temos:
akbk >= varepsilon
Isso significa que, além de certo ponto na sequência, cada termo ak é pelo menos varepsilon vezes bk.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por bk (que são positivos):
ak >= varepsilon cdot bk
Isso nos mostra que, para todo k > N, os termos da série sum ak são maiores ou iguais a varepsilon vezes os termos da série sum bk.

Passo 5

Sabemos que a série sum bk diverge. Se multiplicarmos cada termo dela por um número positivo varepsilon, a nova série sum (varepsilon cdot bk) também diverge (porque multiplicar por um escalar positivo não muda a natureza da divergência). Como sum ak é maior ou igual a uma série que diverge, então sum ak também deve divergir.

Resposta

Portanto, mostramos que se lim akbk infty e sum bk diverge, então sum ak diverge.

Exercícios relacionados