Mostre que se
e
diverge, então
diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que,
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar que, se o limite de
tende a infinito e a série
não converge (ou seja, diverge), então a série
também diverge. Para isso, vamos usar o Teorema do Teste da Comparação com Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite
. Isso quer dizer que, conforme
cresce, a razão entre
e
fica cada vez maior, chegando a infinito. Em outras palavras, para qualquer número positivo que escolhermos, a razão
vai ser maior que esse número quando
for suficientemente grande.
Passo 3
Usando a dica do enunciado e o que entendemos sobre o limite, podemos dizer que para todo
, existe um índice
tal que para todo
, temos:
Isso significa que, além de certo ponto na sequência, cada termo
é pelo menos
vezes
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por
(que são positivos):
Isso nos mostra que, para todo
, os termos da série
são maiores ou iguais a
vezes os termos da série
.
Passo 5
Sabemos que a série
diverge. Se multiplicarmos cada termo dela por um número positivo
, a nova série
também diverge (porque multiplicar por um escalar positivo não muda a natureza da divergência). Como
é maior ou igual a uma série que diverge, então
também deve divergir.
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
diverge, então
diverge.
Exercícios relacionados
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Verifique se as séries convergem ou divergem.