Mostre que se e diverge, então diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que, .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa provar que, se o limite de tende a infinito e a série não converge (ou seja, diverge), então a série também diverge. Para isso, vamos usar o Teorema do Teste da Comparação com Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite . Isso quer dizer que, conforme cresce, a razão entre e fica cada vez maior, chegando a infinito. Em outras palavras, para qualquer número positivo que escolhermos, a razão vai ser maior que esse número quando for suficientemente grande.

Passo 3

Usando a dica do enunciado e o que entendemos sobre o limite, podemos dizer que para todo , existe um índice tal que para todo , temos:
Isso significa que, além de certo ponto na sequência, cada termo é pelo menos vezes .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por (que são positivos):
Isso nos mostra que, para todo , os termos da série são maiores ou iguais a vezes os termos da série .

Passo 5

Sabemos que a série diverge. Se multiplicarmos cada termo dela por um número positivo , a nova série também diverge (porque multiplicar por um escalar positivo não muda a natureza da divergência). Como é maior ou igual a uma série que diverge, então também deve divergir.

Resposta

Portanto, mostramos que se e diverge, então diverge.

Exercícios relacionados

Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.
Verifique se as séries convergem ou divergem.