Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=1^infty 1k 3^k,

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: a tarefa é usar o Teste de Comparação para descobrir se a série sumk=1^infty 1k 3^k converge ou diverge. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona o Teste de Comparação e quais séries podemos usar para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste serve para comparar os termos da série que a gente está investigando com os termos de uma série que a gente já conhece se comporta (se converge ou diverge). A ideia é ver se os termos da nossa série são menores ou maiores que os termos da série comparada.

Passo 3

No nosso caso, temos a série sumk=1^infty 1k 3^k. Vamos pensar em uma série que seja fácil de comparar com ela. Uma boa candidata é a série geométrica sumk=1^infty 13^k, porque sabemos que séries geométricas com razão r = 13 convergem.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que para todo k >= 1, temos:
1k 3^k <= 13^k
Isso acontece porque k >= 1, então ao dividir por k, o denominador só aumenta, fazendo o valor da fração diminuir ou permanecer igual.

Passo 5

Como a série sumk=1^infty 13^k é uma série geométrica que sabemos que converge (já que |r| = 13 < 1), e cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica, pelo Teste de Comparação, a nossa série sumk=1^infty 1k 3^k também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty 1k 3^k converge.

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