Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: a tarefa é usar o Teste de Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona o Teste de Comparação e quais séries podemos usar para comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste serve para comparar os termos da série que a gente está investigando com os termos de uma série que a gente já conhece se comporta (se converge ou diverge). A ideia é ver se os termos da nossa série são menores ou maiores que os termos da série comparada.
Passo 3
No nosso caso, temos a série
. Vamos pensar em uma série que seja fácil de comparar com ela. Uma boa candidata é a série geométrica
, porque sabemos que séries geométricas com razão
convergem.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que para todo
, temos:
Isso acontece porque
, então ao dividir por
, o denominador só aumenta, fazendo o valor da fração diminuir ou permanecer igual.
Passo 5
Como a série
é uma série geométrica que sabemos que converge (já que
), e cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica, pelo Teste de Comparação, a nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge.