Verifique se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, a gente vai verificar se a série
converge ou diverge. Essa questão é sobre séries infinitas e a gente vai precisar usar o Teste da Comparação para descobrir se a série dá convergente ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Quando
fica bem grande, o
no denominador já não tem tanta influência, então o termo parece com
.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Séries p convergem se
, então essa série específica converge.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
Isso porque, à medida que
aumenta,
é maior que
, então o denominador maior faz o todo menor.
Passo 5
Como
é menor que
e sabemos que
converge (já que é uma constante vezes uma série p convergente), pela Regra da Comparação Direta, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Mostre que se
e
diverge, então
diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que,
.
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série
convergente em que a sequência de termos positivos
é tal que
, com
positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em
. Então, o resto
satisfaz a desigualdade:
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,