Verifique se as séries convergem ou divergem. sumk=0^infty 5k^2+4

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se a série converge ou diverge. Essa questão é sobre séries infinitas e a gente vai precisar usar o Teste da Comparação para descobrir se a série dá convergente ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Quando fica bem grande, o no denominador já não tem tanta influência, então o termo parece com .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p convergem se , então essa série específica converge.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
5k^2+4 < 5k^2
Isso porque, à medida que aumenta, é maior que , então o denominador maior faz o todo menor.

Passo 5

Como é menor que e sabemos que converge (já que é uma constante vezes uma série p convergente), pela Regra da Comparação Direta, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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