Verifique se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se a série converge ou diverge. Essa questão é sobre séries infinitas e a gente vai precisar usar o Teste da Comparação para descobrir se a série dá convergente ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Quando fica bem grande, o no denominador já não tem tanta influência, então o termo parece com .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p convergem se , então essa série específica converge.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
Isso porque, à medida que aumenta, é maior que , então o denominador maior faz o todo menor.

Passo 5

Como é menor que e sabemos que converge (já que é uma constante vezes uma série p convergente), pela Regra da Comparação Direta, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.
Mostre que se e diverge, então diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que, .
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série convergente em que a sequência de termos positivos é tal que , com positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em . Então, o resto satisfaz a desigualdade:
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. ,