Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita
composta por termos positivos que converge. A questão quer saber o que acontece com a série formada pelos quadrados desses termos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, já que sabemos que a série
converge e todos os termos
são positivos, podemos afirmar que os termos
tendem a zero quando
tende ao infinito. Isso é uma consequência direta de um dos critérios de convergência de séries: se
converge, então
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Sabemos que
tende a zero, então para valores grandes de
, os termos
serão menores que 1. Isso significa que
para esses valores de
.
Passo 4
Com essa relação, podemos usar o teste de comparação direta. Esse teste nos diz que se tivermos duas séries com termos positivos e, para todo
,
, e se
converge, então
também converge.
Passo 5
Aplicando o teste de comparação direta, substituímos
por
e
permanece como está. Já que
para
suficientemente grande e sabemos que
converge, podemos concluir que
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
diverge, então
diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que,
.
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série
convergente em que a sequência de termos positivos
é tal que
, com
positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em
. Então, o resto
satisfaz a desigualdade: