Se sum ak é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de sum ak^2 ? Demonstre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita sum ak composta por termos positivos que converge. A questão quer saber o que acontece com a série formada pelos quadrados desses termos, ou seja, sum ak^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, já que sabemos que a série sum ak converge e todos os termos ak são positivos, podemos afirmar que os termos ak tendem a zero quando k tende ao infinito. Isso é uma consequência direta de um dos critérios de convergência de séries: se sum ak converge, então limk to infty ak = 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série sum ak^2. Sabemos que ak tende a zero, então para valores grandes de k, os termos ak serão menores que 1. Isso significa que ak^2 <= ak para esses valores de k.

Passo 4

Com essa relação, podemos usar o teste de comparação direta. Esse teste nos diz que se tivermos duas séries com termos positivos e, para todo k, bk <= ak, e se sum ak converge, então sum bk também converge.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação direta, substituímos bk por ak^2 e ak permanece como está. Já que ak^2 <= ak para k suficientemente grande e sabemos que sum ak converge, podemos concluir que sum ak^2 também converge.

Resposta

A série sum ak^2 converge.

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