Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita composta por termos positivos que converge. A questão quer saber o que acontece com a série formada pelos quadrados desses termos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, já que sabemos que a série converge e todos os termos são positivos, podemos afirmar que os termos tendem a zero quando tende ao infinito. Isso é uma consequência direta de um dos critérios de convergência de séries: se converge, então .

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Sabemos que tende a zero, então para valores grandes de , os termos serão menores que 1. Isso significa que para esses valores de .

Passo 4

Com essa relação, podemos usar o teste de comparação direta. Esse teste nos diz que se tivermos duas séries com termos positivos e, para todo , , e se converge, então também converge.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação direta, substituímos por e permanece como está. Já que para suficientemente grande e sabemos que converge, podemos concluir que também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Mostre que se e diverge, então diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que, .
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série convergente em que a sequência de termos positivos é tal que , com positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em . Então, o resto satisfaz a desigualdade: