Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=0^infty k-2k^3-k^2+3,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumk=0^infty k-2k^3-k^2+3
E precisamos usar o Teste de Comparação com Limite para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar com uma outra série que conhecemos o comportamento, geralmente uma série p ou geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
ak = k-2k^3-k^2+3
Para facilitar a comparação, vamos analisar o comportamento de ak approx kk^3 = 1k^2 quando tende ao infinito. Observamos que:
  • O termo de maior grau no numerador é .
  • O termo de maior grau no denominador é .
Então, para grandes valores de , o termo se comporta aproximadamente como:

Passo 3

Agora, vamos considerar a série de comparação:
bk = 1k^2
Sabemos que a série é uma série p com , e sabemos que essa série converge porque .

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação com Limite, calculamos o limite:
limk to infty akbk = limk to infty k-2k^3-k^2+31k^2 = limk to infty (k-2) cdot k^2k^3-k^2+3
Vamos simplificar o numerador e denominador:
= limk to infty k^3 - 2k^2k^3-k^2+3
Dividindo todos os termos por = limk to infty 1 - 2k1 - 1k + 3k^3 = 1 - 01 - 0 + 0 = 1 :
Como o limite é um número positivo e finito ( ), o Teste de Comparação com Limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

Portanto, a série converge.

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