Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
E precisamos usar o Teste de Comparação com Limite para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar com uma outra série que conhecemos o comportamento, geralmente uma série p ou geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para facilitar a comparação, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que:
- O termo de maior grau no numerador é
. - O termo de maior grau no denominador é
.
Então, para grandes valores de
, o termo
se comporta aproximadamente como:
Passo 3
Agora, vamos considerar a série de comparação:
Sabemos que a série
é uma série p com
, e sabemos que essa série converge porque
.
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação com Limite, calculamos o limite:
Vamos simplificar o numerador e denominador:
Dividindo todos os termos por
:
Como o limite é um número positivo e finito (
), o Teste de Comparação com Limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Resposta
Portanto, a série
converge.
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Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
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Mostre que se
e
diverge, então
diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que,
.
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.