Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
E precisamos usar o Teste de Comparação com Limite para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar comparar com uma outra série que conhecemos o comportamento, geralmente uma série p ou geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para facilitar a comparação, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que:
  • O termo de maior grau no numerador é .
  • O termo de maior grau no denominador é .
Então, para grandes valores de , o termo se comporta aproximadamente como:

Passo 3

Agora, vamos considerar a série de comparação:
Sabemos que a série é uma série p com , e sabemos que essa série converge porque .

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação com Limite, calculamos o limite:
Vamos simplificar o numerador e denominador:
Dividindo todos os termos por :
Como o limite é um número positivo e finito ( ), o Teste de Comparação com Limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

Portanto, a série converge.

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Mostre que se e diverge, então diverge. Dica: siga o caminho adotado em aula para provar o outro caso do Teorema do Teste da Comparação com Limite, usando o fato de que, no caso do limite tendendo a infinito, têm-se que, .
Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.