Mostre que se lim x x0 f(x)=0 e existir de tal que f(x)<0 se x0-de e f(x)>0 se x0, então
lim x x0^+ 1f(x)=+infty

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado do exercício e identificar o que precisamos para resolvê-lo. O problema nos diz que:
  • O limite de f(x) quando x se aproxima de x0 é 0, ou seja, lim x x0 f(x) = 0.
  • Existe um de tal que:
    • Para x entre x0 - de e x0, f(x) < 0.
    • Para x entre x0 e x0 + de, f(x) > 0.
Precisamos mostrar que o limite de 1f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita ( x x0^+) é +infty. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita, ou seja, para valores de x maiores que x0 e próximos a ele.
Sabemos que lim x x0 f(x) = 0, e conforme o enunciado, para x > x0 e próximo a x0, temos f(x) > 0. Isso significa que, à medida que x se aproxima de x0 pela direita, f(x) fica cada vez menor, se aproximando de 0, mas permanece positivo.

Passo 3

Agora, vamos considerar o comportamento de 1f(x) sob essas condições. Como f(x) está se aproximando de 0 por valores positivos, 1f(x) estará se aproximando de um número muito grande positivo. Em termos matemáticos, para qualquer número real positivo grande que você escolher, 1f(x) pode ser maior que esse número quando x está suficientemente próximo de x0 pela direita.
Formalmente, para todo M > 0, existe um de 0 tal que se 0 < x - x0 < de, então f(x) < 1M. Como f(x) > 0, isso implica que 1f(x) > M. Portanto, 1f(x) pode ser feito maior que qualquer valor positivo M, o que caracteriza o limite tendendo a +infty.

Resposta

Assim, mostramos que
lim x x0^+ 1f(x) = +infty

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