Mostre que se e existir tal que se e se , então

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado do exercício e identificar o que precisamos para resolvê-lo. O problema nos diz que:
  • O limite de quando se aproxima de é 0, ou seja, .
  • Existe um tal que:
    • Para entre e , .
    • Para entre e , .
Precisamos mostrar que o limite de quando se aproxima de pela direita ( ) é . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de pela direita, ou seja, para valores de maiores que e próximos a ele.
Sabemos que , e conforme o enunciado, para e próximo a , temos . Isso significa que, à medida que se aproxima de pela direita, fica cada vez menor, se aproximando de 0, mas permanece positivo.

Passo 3

Agora, vamos considerar o comportamento de sob essas condições. Como está se aproximando de 0 por valores positivos, estará se aproximando de um número muito grande positivo. Em termos matemáticos, para qualquer número real positivo grande que você escolher, pode ser maior que esse número quando está suficientemente próximo de pela direita.
Formalmente, para todo , existe um tal que se , então . Como , isso implica que . Portanto, pode ser feito maior que qualquer valor positivo , o que caracteriza o limite tendendo a .

Resposta

Assim, mostramos que

Exercícios relacionados

Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (e) .
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: © .
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (g) ?
Calcule os seguintes limites