Mostre que se
e existir
tal que
se
e
se
, então
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado do exercício e identificar o que precisamos para resolvê-lo. O problema nos diz que:
- O limite de
quando se aproxima de é 0, ou seja, . - Existe um
tal que: - Para
entre e , . - Para
entre e , .
- Para
Precisamos mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
pela direita (
) é
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja, para valores de
maiores que
e próximos a ele.
Sabemos que
, e conforme o enunciado, para
e próximo a
, temos
. Isso significa que, à medida que
se aproxima de
pela direita,
fica cada vez menor, se aproximando de 0, mas permanece positivo.
Passo 3
Agora, vamos considerar o comportamento de
sob essas condições. Como
está se aproximando de 0 por valores positivos,
estará se aproximando de um número muito grande positivo. Em termos matemáticos, para qualquer número real positivo grande que você escolher,
pode ser maior que esse número quando
está suficientemente próximo de
pela direita.
Formalmente, para todo
, existe um
tal que se
, então
. Como
, isso implica que
. Portanto,
pode ser feito maior que qualquer valor positivo
, o que caracteriza o limite tendendo a
.
Resposta
Assim, mostramos que
Exercícios relacionados
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (e)
.
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: ©
.
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (g)
?
Calcule os seguintes limites