Mostre que se
e existir
tal que
se
e
se
, então
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente sabe que quando
chega perto de
, a função
se aproxima de 0. Além disso,
é negativa quando
está um pouco à esquerda de
e positiva quando está à direita. A gente quer mostrar que, se
se aproxima de
pela esquerda, então
vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e de comportamento de funções próximas a um ponto.
Passo 2
Sabemos que
. Isso significa que à medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez menores em módulo, ou seja, mais próximos de zero.
Passo 3
Como foi dado que existe um
tal que para
na esquerda de
(
),
, isso nos diz que
está se aproximando de zero por valores negativos quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Como
está se aproximando de zero por valores negativos, o denominador está ficando cada vez menor em valor absoluto, mas negativo. Quando dividimos 1 por um número que está se aproximando de zero pelo lado negativo, o resultado fica cada vez mais negativo e tende a menos infinito.
Passo 5
Formalmente, podemos escrever:
Isso confirma que à medida que
se aproxima de zero pelo lado negativo, o inverso de
tende a menos infinito.
Resposta
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Suponha que
seja falso. É possível determinar os valores lógicos de
(a)
(a)
Calcule os seguintes limites
Calcule os seguintes limites
n)