Mostre que se
e existir
tal que
se
e
se
, então
Dica: Lembre-se do caso da função
e generalize.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que trata de limites em funções, um tópico fundamental em cálculo. O enunciado diz que
e que a função
é negativa quando
está um pouco à esquerda de
e positiva quando está à direita de
. Nosso objetivo é mostrar que, sob essas condições,
não existe. Para resolver isso, vamos analisar separadamente os limites pela esquerda e pela direita de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
, o valor de
fica cada vez mais próximo de zero. No entanto, temos uma particularidade:
é negativa à esquerda de
e positiva à direita.
Passo 3
Vamos analisar o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de
vindo dos valores menores que
(
). Sabemos que nessa região
. Como
está se aproximando de zero por valores negativos,
está ficando cada vez mais próximo de zero pelo lado negativo.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Como
está se aproximando de zero através de valores negativos,
vai se aproximar de
. Isso porque dividir 1 por um número negativo muito pequeno (próximo de zero) resulta em um número muito grande e negativo.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite pela direita, quando
se aproxima de
vindo dos valores maiores que
(
). Nessa região,
, ou seja,
está se aproximando de zero por valores positivos.
Passo 6
Calculando
, vemos que como
está se aproximando de zero pelo lado positivo,
vai se aproximar de
. Dividir 1 por um número positivo muito pequeno resulta em um número muito grande e positivo.
Passo 7
Agora, com os dois limites laterais calculados, observamos que:
Os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (um vai para
e o outro para
).
Resposta
Portanto,
não existe.
Exercícios relacionados
Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porquê: (i)
é um número negativo.
Calcule os seguintes limites
Calcule os seguintes limites
h)