Mostre que se lim x x0 f(x)=0 e existir de tal que f(x)<0 se x0-de e f(x)>0 se x0, então
lim x x0 1f(x) não existe ã
Dica: Lembre-se do caso da função f(x)=1x e generalize.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que trata de limites em funções, um tópico fundamental em cálculo. O enunciado diz que e que a função é negativa quando está um pouco à esquerda de e positiva quando está à direita de . Nosso objetivo é mostrar que, sob essas condições, não existe. Para resolver isso, vamos analisar separadamente os limites pela esquerda e pela direita de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de , o valor de fica cada vez mais próximo de zero. No entanto, temos uma particularidade: é negativa à esquerda de e positiva à direita.

Passo 3

Vamos analisar o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de vindo dos valores menores que ( ). Sabemos que nessa região . Como está se aproximando de zero por valores negativos, está ficando cada vez mais próximo de zero pelo lado negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular lim x x0^- 1f(x) = -infty . Como está se aproximando de zero através de valores negativos, vai se aproximar de . Isso porque dividir 1 por um número negativo muito pequeno (próximo de zero) resulta em um número muito grande e negativo.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite pela direita, quando se aproxima de vindo dos valores maiores que ( ). Nessa região, , ou seja, está se aproximando de zero por valores positivos.

Passo 6

Calculando lim x x0^+ 1f(x) = +infty , vemos que como está se aproximando de zero pelo lado positivo, vai se aproximar de . Dividir 1 por um número positivo muito pequeno resulta em um número muito grande e positivo.

Passo 7

Agora, com os dois limites laterais calculados, observamos que:
lim x x0^- 1f(x) = -infty neq +infty = lim x x0^+ 1f(x)
Os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (um vai para e o outro para ).

Resposta

Portanto, não existe.

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