Mostre que:
lim n infty n(raiz9 n^2+1-3 n)=16

Passo 1

Então, a gente tem um limite que envolve uma sequência quando lim n infty n(raiz9 n^2+1-3 n)=16 vai para o infinito:
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções de sequência. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão dentro do limite para simplificar e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do parênteses:
raiz9n^2 + 1 - 3n
Quando é muito grande, vai dominar o , então a raiz quadrada vai ficar próxima de . Mas queremos saber exatamente quanto essa diferença está ajustando o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de n(raiz9n^2 + 1 - 3n) times raiz9n^2 + 1 + 3nraiz9n^2 + 1 + 3n é . Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador:

Passo 4

Fazendo essa multiplicação, o numerador se torna uma diferença de quadrados:
n times (9n^2 + 1) - (3n)^2raiz9n^2 + 1 + 3n = n times 9n^2 + 1 - 9n^2raiz9n^2 + 1 + 3n = n times 1raiz9n^2 + 1 + 3n

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
n times 1raiz9n^2 + 1 + 3n = nraiz9n^2 + 1 + 3n
Vamos dividir o numerador e o denominador por nraiz9n^2 + 1 + 3n = 1raiz9 + 1n^2 + 3 para facilitar o cálculo do limite:

Passo 6

Agora, observamos o comportamento quando raiz9 + 1n^2 approx raiz9 = 3 tende ao infinito. O termo 13 + 3 = 16 vai para zero, então:
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

lim n infty n(raiz9 n^2+1-3 n) = 16

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