Mostre que:

Passo 1

Então, a gente tem um limite que envolve uma sequência quando vai para o infinito:
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções de sequência. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão dentro do limite para simplificar e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do parênteses:
Quando é muito grande, vai dominar o , então a raiz quadrada vai ficar próxima de . Mas queremos saber exatamente quanto essa diferença está ajustando o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de é . Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador:

Passo 4

Fazendo essa multiplicação, o numerador se torna uma diferença de quadrados:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
Vamos dividir o numerador e o denominador por para facilitar o cálculo do limite:

Passo 6

Agora, observamos o comportamento quando tende ao infinito. O termo vai para zero, então:
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

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Mostre que:
Mostre que:
Determine o gradiente das seguintes funções: ;