Mostre que:
Passo 1
Então, a gente tem um limite que envolve uma sequência quando
vai para o infinito:
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções de sequência. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão dentro do limite para simplificar e encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do parênteses:
Quando
é muito grande,
vai dominar o
, então a raiz quadrada vai ficar próxima de
. Mas queremos saber exatamente quanto essa diferença está ajustando o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de
é
. Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador:
Passo 4
Fazendo essa multiplicação, o numerador se torna uma diferença de quadrados:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão:
Vamos dividir o numerador e o denominador por
para facilitar o cálculo do limite:
Passo 6
Agora, observamos o comportamento quando
tende ao infinito. O termo
vai para zero, então:
Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
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Mostre que:
Mostre que:
Determine o gradiente das seguintes funções:
;