Mostre que:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este problema envolve conceitos de limites em sequências numéricas e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
cresce sem limites, além de utilizar propriedades do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Quando
tende ao infinito,
domina, então
. Isso nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, analisamos o numerador
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Portanto, multiplicando por
, temos:
Passo 4
Dividindo toda a desigualdade pelo denominador
, temos:
Como vimos no Passo 2,
, então:
Passo 5
Portanto, a expressão está limitada por
. Sabemos que, quando
tende ao infinito,
tende a 0.
Passo 6
Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema da Squeeze), se uma sequência está “presa” entre duas sequências que tendem a 0, então a sequência também tende a 0.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Mostre que:
A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para
, mostre que
.
Supondo que a sequência
Mostre que: