Mostre que:
lim n infty n^3 sen(n!)n^4+1=0

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este problema envolve conceitos de limites em sequências numéricas e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme cresce sem limites, além de utilizar propriedades do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Quando tende ao infinito, domina, então . Isso nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, analisamos o numerador - n^3 <= n^3 sin(n!) <= n^3 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Portanto, multiplicando por , temos:

Passo 4

Dividindo toda a desigualdade pelo denominador -n^3n^4 + 1 <= n^3 sin(n!)n^4 + 1 <= n^3n^4 + 1 , temos:
-n^3n^4 = -1n e n^3n^4 = 1n
Como vimos no Passo 2, , então:

Passo 5

Portanto, a expressão está limitada por . Sabemos que, quando tende ao infinito, tende a 0.

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema da Squeeze), se uma sequência está “presa” entre duas sequências que tendem a 0, então a sequência também tende a 0.

Resposta

Portanto, .

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