Mostre que:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este problema envolve conceitos de limites em sequências numéricas e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme cresce sem limites, além de utilizar propriedades do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Quando tende ao infinito, domina, então . Isso nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, analisamos o numerador . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Portanto, multiplicando por , temos:

Passo 4

Dividindo toda a desigualdade pelo denominador , temos:
Como vimos no Passo 2, , então:

Passo 5

Portanto, a expressão está limitada por . Sabemos que, quando tende ao infinito, tende a 0.

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema da Squeeze), se uma sequência está “presa” entre duas sequências que tendem a 0, então a sequência também tende a 0.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Mostre que:
A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para , mostre que .
Mostre que: