Mostre que lim n +infty(raizn+1-raizn)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que quando cresce cada vez mais (tipo indo para o infinito), a diferença entre e vai se aproximar de zero. Isso envolve entender um pouco sobre limites e como funções se comportam quando suas variáveis ficam bem grandes. Vamos precisar usar umas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão e facilitar a análise do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos analisar: raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn . Trabalhar com raízes pode ser meio complicado, então uma boa estratégia é “racionalizar” essa diferença. Isso significa multiplicar e dividir pela soma das raízes para eliminar as raízes no numerador.
Fazendo isso, temos:

Passo 3

Agora, a expressão ficou mais simples: raizn+1 + raizn approx 2raizn . Vamos analisar o que acontece com o denominador quando 12raizn tende ao infinito. Tanto quanto crescem sem limites, mas como estão somados, o denominador cresce aproximadamente como .
Podemos reescrever o denominador assim:
Então, nossa expressão fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to +infty 12raizn tende ao infinito:
Sabemos que cresce sem limites quando aumenta, então vai se aproximar de zero.

Resposta

Portanto,
limn +infty(raizn+1-raizn) = 0

Exercícios relacionados