Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que quando
cresce cada vez mais (tipo indo para o infinito), a diferença entre
e
vai se aproximar de zero. Isso envolve entender um pouco sobre limites e como funções se comportam quando suas variáveis ficam bem grandes. Vamos precisar usar umas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão e facilitar a análise do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos analisar:
. Trabalhar com raízes pode ser meio complicado, então uma boa estratégia é “racionalizar” essa diferença. Isso significa multiplicar e dividir pela soma das raízes para eliminar as raízes no numerador.
Fazendo isso, temos:
Passo 3
Agora, a expressão ficou mais simples:
. Vamos analisar o que acontece com o denominador quando
tende ao infinito. Tanto
quanto
crescem sem limites, mas como estão somados, o denominador cresce aproximadamente como
.
Podemos reescrever o denominador assim:
Então, nossa expressão fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, então
vai se aproximar de zero.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Seja
uma sequência monótona de números reais. Assuma que
seja uma subsequência de
. Mostre que se
, então,
.
Suponha que
e
. Mostre que se
para todo
, então,
.
Seja
e
, para todo
. Mostre que
é monótona e limitada. Determine
.