Suponha que lim n +infty xn=a e lim n +infty yn=b. Mostre que se |xn-yn| >= varepsilon para todo n in N, então, |a-b| >= varepsilon.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências, que converge para e que converge para . A condição dada é que a distância entre e é sempre pelo menos para todo natural, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que a distância entre os limites e também é pelo menos , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limites de sequências e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência converge para . Isso quer dizer que, para qualquer número positivo pequeno , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que , ou seja, . O mesmo vale para a sequência que converge para : para qualquer , existe um tal que para todo , .

Passo 3

Agora, queremos analisar a distância entre os limites |a - b| = |a - xn + xn - yn + yn - b| e . Vamos considerar a diferen��a . Podemos reescrever essa diferença adicionando e subtraindo e :

Passo 4

Utilizando a desigualdade triangular, que diz que |a - b| <= |a - xn| + |xn - yn| + |yn - b| , temos:

Passo 5

Sabemos que |a - xn| < varepsilon2 e |yn - b| < varepsilon2 para todo . Além disso, como converge para e converge para , podemos fazer e tão pequenos quanto quisermos. Vamos escolher . Então, existe um tal que para todo :

Passo 6

Substituindo esses valores na desigualdade triangular:
|a - b| <= varepsilon2 + |xn - yn| + varepsilon2
|a - b| <= |xn - yn| + varepsilon

Passo 7

Como |a - b| <= varepsilon + varepsilon = 2varepsilon , substituímos na inequação:
No entanto, queremos mostrar que . Para isso, consideramos que se , isso implicaria que, por ser e convergentes, para suficientemente grande, deveria ser menor que , o que contraria a condição dada. Portanto, a única possibilidade é .

Resposta

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