Suponha que
e
. Mostre que se
para todo
, então,
.
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências,
que converge para
e
que converge para
. A condição dada é que a distância entre
e
é sempre pelo menos
para todo
natural, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que a distância entre os limites
e
também é pelo menos
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limites de sequências e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência
converge para
. Isso quer dizer que, para qualquer número positivo pequeno
, existe um número natural
tal que para todo
, a distância entre
e
é menor que
, ou seja,
. O mesmo vale para a sequência
que converge para
: para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, queremos analisar a distância entre os limites
e
. Vamos considerar a diferen��a
. Podemos reescrever essa diferença adicionando e subtraindo
e
:
Passo 4
Utilizando a desigualdade triangular, que diz que
, temos:
Passo 5
Sabemos que
para todo
. Além disso, como
converge para
e
converge para
, podemos fazer
e
tão pequenos quanto quisermos. Vamos escolher
. Então, existe um
tal que para todo
:
Passo 6
Substituindo esses valores na desigualdade triangular:
Passo 7
Como
, substituímos na inequação:
No entanto, queremos mostrar que
. Para isso, consideramos que se
, isso implicaria que, por ser
e
convergentes, para
suficientemente grande,
deveria ser menor que
, o que contraria a condição dada. Portanto, a única possibilidade é
.