Suponha que e . Mostre que se para todo , então, .
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências, que converge para e que converge para . A condição dada é que a distância entre e é sempre pelo menos para todo natural, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que a distância entre os limites e também é pelo menos , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limites de sequências e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência converge para . Isso quer dizer que, para qualquer número positivo pequeno , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que , ou seja, . O mesmo vale para a sequência que converge para : para qualquer , existe um tal que para todo , .
Passo 3
Agora, queremos analisar a distância entre os limites e . Vamos considerar a diferen��a . Podemos reescrever essa diferença adicionando e subtraindo e :
Passo 4
Utilizando a desigualdade triangular, que diz que , temos:
Passo 5
Sabemos que para todo . Além disso, como converge para e converge para , podemos fazer e tão pequenos quanto quisermos. Vamos escolher . Então, existe um tal que para todo :
Passo 6
Substituindo esses valores na desigualdade triangular:
Passo 7
Como , substituímos na inequação:
No entanto, queremos mostrar que . Para isso, consideramos que se , isso implicaria que, por ser e convergentes, para suficientemente grande, deveria ser menor que , o que contraria a condição dada. Portanto, a única possibilidade é .
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que .
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Seja e , para todo . Mostre que é monótona e limitada. Determine .
Mostre que não satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.