Mostre que lim n infty sin (n) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que não existe. Esse problema está na área de análise de limites, onde a gente precisa entender como a função seno se comporta quando o argumento cresce sem limites. Vamos precisar usar conceitos sobre limite e propriedades da função seno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é periódica, com período . Isso significa que ela se repete a cada unidades. Então, para qualquer número real , sempre estará entre e .

Passo 3

Agora, como estamos analisando quando tende ao infinito, precisamos ver se existe algum valor único que se aproxima quando cresce sem parar. Se isso acontecesse, poderíamos dizer que o limite existe e é esse valor.

Passo 4

Porém, como está crescendo sem limite, ele vai passar por todos os valores possíveis de no período da função seno. Isso significa que vai continuar oscilando entre e , sem se estabelecer em nenhum valor específico.

Passo 5

Além disso, como não está restrito a intervalos específicos e não segue um padrão que faz convergir para algum número, a função não tem um comportamento estável quando tende ao infinito.

Passo 6

Para reforçar, se o limite existisse, deveria haver um único valor tal que para qualquer , existe um tal que para todo , . Mas como continua variando entre e , não conseguimos encontrar esse .

Resposta

Portanto, concluímos que não existe.

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