Mostre que a sequência (a_n)_{n ∈ N} definida por
a_n = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
O objetivo aqui é mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um valor específico conforme cresce. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência convergente e aplicar alguns conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se existe um número tal que, conforme fica cada vez maior, os termos ficam cada vez mais próximos de . Em outras palavras:
Então, nosso objetivo é encontrar esse ou, pelo menos, mostrar que ele existe.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência dada:
Perceba que cada termo seguinte adiciona uma fração que envolve o fatorial de . Sabemos que o fatorial cresce muito rápido conforme aumenta, o que faz com que fique cada vez menor.

Passo 4

Para mostrar que a sequência é convergente, vamos considerar o que acontece quando tende ao infinito. Vamos somar todos esses termos infinitamente:
Essa é uma série conhecida na matemática chamada série exponencial, e sabemos que ela converge para o número , que é aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Como a série infinita converge para , significa que a sequência das suas somas parciais também converge para . Ou seja:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é o número .

Exercícios relacionados