Sejam a in R tal que |a|<1 e (xn) uma sequência cujo termo geral é definido por
xn=1+a+a^2+cdots+a^n
Mostre que (xn) é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe lim n infty xn. Além disso mostre que
lim n infty xn=11-a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência definida por , onde . A matéria envolvida aqui é sobre sequências numéricas e seus limites. Precisamos mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e que ela é limitada. Depois disso, vamos usar essas propriedades para encontrar o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Vamos analisar xn+1 - xn = (1 + a + a^2 + cdots + a^n + a^n+1) - (1 + a + a^2 + cdots + a^n) = a^n+1 :
Para ver se é crescente ou decrescente, vamos olhar a diferença entre e :
Como , tende a zero, mas precisamos ver o sinal. Se , então , o que mostra que , ou seja, a sequência é crescente. Se , alterna de sinal, mas como , o valor absoluto diminui. No geral, a sequência é monótona dependendo do sinal de .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência xn = 1 - a^n+11 - a é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.
Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita é dada por:
Como , tende a zero quando aumenta. Portanto, a soma está sempre menor que para e maior que para . Isso mostra que a sequência está limitada por .

Passo 4

Como mostramos que a sequência é monótona e limitada, pelo Teorema da Convergência Monótona, sabemos que ela converge, ou seja, existe o limite quando tende ao infinito.

Passo 5

Para encontrar o limite, observamos a expressão da soma:
limn to infty xn = limn to infty 1 - a^n+11 - a = 11 - a
Isso porque tende a zero quando .

Resposta

lim n infty xn = 11 - a

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