Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência definida por
, onde
. A matéria envolvida aqui é sobre sequências numéricas e seus limites. Precisamos mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e que ela é limitada. Depois disso, vamos usar essas propriedades para encontrar o limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Vamos analisar
:
Para ver se é crescente ou decrescente, vamos olhar a diferença entre
e
:
Como
,
tende a zero, mas precisamos ver o sinal. Se
, então
, o que mostra que
, ou seja, a sequência é crescente. Se
,
alterna de sinal, mas como
, o valor absoluto diminui. No geral, a sequência é monótona dependendo do sinal de
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência
é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.
Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita é dada por:
Como
,
tende a zero quando
aumenta. Portanto, a soma está sempre menor que
para
e maior que
para
. Isso mostra que a sequência está limitada por
.
Passo 4
Como mostramos que a sequência
é monótona e limitada, pelo Teorema da Convergência Monótona, sabemos que ela converge, ou seja, existe o limite quando
tende ao infinito.
Passo 5
Para encontrar o limite, observamos a expressão da soma:
Isso porque
tende a zero quando
.