Prove que a sequência
, com
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a sequência
converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries e limites. Vamos precisar saber sobre a série harmônica
e a função logarítmica
. Nossa missão é mostrar que, conforme
cresce, os valores de
se aproximam de um número fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série harmônica:
. Essa série cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito conforme
aumenta. Já a função logarítmica
também cresce com
, mas de forma mais lenta que a série harmônica.
Passo 3
Queremos analisar o comportamento da diferença
. Apesar de ambos
e
tendarem ao infinito, a questão é ver se essa diferença se estabiliza em um valor finito à medida que
aumenta.
Passo 4
Para isso, vamos usar uma aproximação conhecida da série harmônica. É sabido que:
Onde
é a constante de Euler-Mascheroni. Essa expressão mostra que a série harmônica pode ser aproximada por
mais uma constante e termos que tendem a zero conforme
cresce.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na nossa sequência:
As partes
se cancelam:
Passo 6
Agora, observamos que conforme
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero. Assim, o que sobra para
é a constante
.
Passo 7
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito é:
Como
é uma constante finita, concluímos que a sequência
é convergente.
Resposta
A sequência
é convergente, e seu limite é a constante de Euler-Mascheroni
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
b)
b)
Mostre que
.
Prove que
.
Calcule.
m)
m)