Prove que a sequência , com é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a sequência converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries e limites. Vamos precisar saber sobre a série harmônica e a função logarítmica . Nossa missão é mostrar que, conforme cresce, os valores de se aproximam de um número fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série harmônica: . Essa série cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito conforme aumenta. Já a função logarítmica também cresce com , mas de forma mais lenta que a série harmônica.

Passo 3

Queremos analisar o comportamento da diferença . Apesar de ambos e tendarem ao infinito, a questão é ver se essa diferença se estabiliza em um valor finito à medida que aumenta.

Passo 4

Para isso, vamos usar uma aproximação conhecida da série harmônica. É sabido que:
Onde é a constante de Euler-Mascheroni. Essa expressão mostra que a série harmônica pode ser aproximada por mais uma constante e termos que tendem a zero conforme cresce.

Passo 5

Substituindo essa aproximação na nossa sequência:
As partes se cancelam:

Passo 6

Agora, observamos que conforme tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Assim, o que sobra para é a constante .

Passo 7

Portanto, o limite de quando tende ao infinito é:
Como é uma constante finita, concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente, e seu limite é a constante de Euler-Mascheroni .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
b)
Mostre que .
Prove que .
Calcule.
m)