Resolva a integral integral x ln x d x utilizando integração por partes.
Realize a integração resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x ln x , dx usando integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, como aqui onde temos x e ln x. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. A escolha é importante para simplificar a resolução.

Passo 3

Vamos definir:
  • u = ln x (porque a derivada de ln x é mais simples)
  • dv = x , dx (isso nos permitirá integrar facilmente)
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
  • Derivando u = ln x:
    du = 1x , dx
  • Integrando dv = x , dx:
    v = integral x , dx = x^22

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^22 ln x - 12 integral x , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral x , dx:
integral x , dx = x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
x^22 ln x - 12 ( x^22 ) + C
Simplificando:
= x^22 ln x - x^24 + C

Resposta

A integral integral x ln x , dx é igual a:
x^22 ln x - x^24 + C

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