Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que:
Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando várias variáveis estão envolvidas e utilizar algumas ferramentas como a Estimativa pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Casa dos Limites).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro do limite. Temos:
Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos entender a função arctg. A função é a função arco-tangente, que tem uma característica importante: para todo
. Ou seja, não importa quão grande
fique, o valor da arctg nunca passa de
em magnitude.
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo dentro da arctg:
Quando
se aproxima de
,
fica muito pequeno, então
fica muito grande. Mas, como vimos, de um número grande se aproxima de
. Portanto:
quando
está perto de
.
Passo 5
Agora, substituindo essa aproximação na função original:
Então, o comportamento da função
perto de
é aproximadamente linear em relação a
.
Passo 6
Queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Usando a aproximação que fizemos:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Derive
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Derive
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;