Mostre que
e) lim (x, y) (0,0) x arctg(1x^2+y^2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que:
Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando várias variáveis estão envolvidas e utilizar algumas ferramentas como a Estimativa pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Casa dos Limites).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro do limite. Temos:
Queremos ver o que acontece com f(x, y) = x cdot arctg(1x^2+y^2) quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos entender a função arctg. A função é a função arco-tangente, que tem uma característica importante: para todo . Ou seja, não importa quão grande fique, o valor da arctg nunca passa de em magnitude.

Passo 4

Agora, vamos analisar o termo dentro da arctg:
1x^2 + y^2
Quando arctg(1x^2+y^2) approx pi2 se aproxima de , fica muito pequeno, então fica muito grande. Mas, como vimos, de um número grande se aproxima de . Portanto:
quando está perto de .

Passo 5

Agora, substituindo essa aproximação na função original:
f(x, y) approx x cdot pi2
Então, o comportamento da função perto de é aproximadamente linear em relação a .

Passo 6

Queremos encontrar o limite de lim(x,y) to (0,0) x cdot pi2 = pi2 cdot lim(x,y) to (0,0) x quando lim(x,y) to (0,0) x = 0 se aproxima de pi2 cdot 0 = 0 . Usando a aproximação que fizemos:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados