Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que:
Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando várias variáveis estão envolvidas e utilizar algumas ferramentas como a Estimativa pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Casa dos Limites).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro do limite. Temos:
Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos entender a função arctg. A função é a função arco-tangente, que tem uma característica importante: para todo . Ou seja, não importa quão grande fique, o valor da arctg nunca passa de em magnitude.

Passo 4

Agora, vamos analisar o termo dentro da arctg:
Quando se aproxima de , fica muito pequeno, então fica muito grande. Mas, como vimos, de um número grande se aproxima de . Portanto:
quando está perto de .

Passo 5

Agora, substituindo essa aproximação na função original:
Então, o comportamento da função perto de é aproximadamente linear em relação a .

Passo 6

Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de . Usando a aproximação que fizemos:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:

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Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
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Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;