partial Tpartial t=alpha(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2), 00
em uma placa retangular unitária. Assuma condições de contorno homogênea, T=0, e alpha=1. A distribuição de temperatura inicial em t=0 e dada por f(x, y)=x(1-x) y(1-y). Apresente gráficos com a evolução da temperatura na placa para diferentes instantes de tempo: t=0,2,4,6,8, e 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de difusão de calor em duas dimensões, que descreve como a temperatura partial Tpartial t = alpha(partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2), 0 < x < 1, 0 < y < 1, t > 0 varia no tempo e no espaço dentro de uma placa retangular unitária. A equação dada é:
Além disso, temos as condições de contorno homogêneas nas bordas da placa, , e uma distribuição de temperatura inicial quando . Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação e, por fim, apresentar gráficos da temperatura em diferentes instantes de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com a equação do calor em duas dimensões. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação junto com as condições de contorno e a condição inicial fornecida.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma das variáveis.

Passo 3

Assumimos que a solução pode ser escrita como:
Onde T(x, y, t) = X(x) cdot Y(y) cdot Tau(t) depende apenas de , depende apenas de e depende apenas do tempo .
Vamos substituir essa forma na equação do calor para separar as variáveis.

Passo 4

Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende apenas de partial Tpartial t = X(x)Y(y)dTaudt = alpha [ Y(y)d^2Xdx^2Tau(t) + X(x)d^2Ydy^2Tau(t) ] e o lado direito depende de 1Tau(t)dTaudt = alpha [ 1X(x)d^2Xdx^2 + 1Y(y)d^2Ydy^2 ] e 1Tau(t)dTaudt = -lambda , cada lado deve ser igual a uma constante negativa, digamos d^2Xdx^2 = -lambda X(x) d^2Ydy^2 = -mu Y(y) . Assim, temos:
e
Onde são constantes de separação.

Passo 5

Resolvendo as equações diferenciais para Xn(x) = sin(npi x), Ym(y) = sin(mpi y) e com as condições de contorno e , encontramos que as soluções são funções senoidais:
Onde e são inteiros positivos. As constantes de separação associadas são e .

Passo 6

Agora, resolvemos a equação temporal:
A solução dessa equação é:
Como dTaudt = -(lambdan + mum)Tau(t) , simplifica para:

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação do calor é uma soma dupla das soluções separadas:
T(x, y, t) = sumn=1^inftysumm=1^infty Bnm sin(npi x)sin(mpi y) e^-(n^2 + m^2)pi^2 t
Onde são os coeficientes a serem determinados a partir da condição inicial .

Passo 8

Para encontrar os coeficientes Bnm = 4 integral0^1integral0^1 x(1 - x)y(1 - y) sin(npi x)sin(mpi y) ,dx,dy , usamos a ortogonalidade das funções seno. Calculamos:
Essas integrais podem ser calculadas separadamente para e , já que a função inicial é o produto de funções de e . No entanto, para simplificar, consideraremos apenas os primeiros termos da série na prática para gerar os gráficos.

Resposta

A distribuição de temperatura na placa para qualquer instante de tempo T(x, y, t) = sumn=1^inftysumm=1^infty Bnm sin(npi x)sin(mpi y) e^-(n^2 + m^2)pi^2 t é dada por:
Bnm = 4 integral0^1integral0^1 x(1 - x)y(1 - y) sin(npi x)sin(mpi y) ,dx,dy
Onde os coeficientes são calculados através das integrais:
Para obter os gráficos da evolução da temperatura na placa nos instantes de tempo e , você pode truncar a série após alguns termos (por exemplo, ) e calcular para esses valores de . Utilizando software como MATLAB, Python (com bibliotecas como NumPy e Matplotlib) ou mesmo ferramentas de visualização gráfica, você pode plotar a distribuição de temperatura na placa para cada instante de tempo desejado.

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r partial Tpartial t=partial^2 Tpartial x^2, 00 partial T(0, t)partial x=-T(x, 0), t>0 partial T(1, t)partial x=-T(1,0), t>0 T(x, 0)=f(x), 0
(b) Mostre que
T(x, t)=sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x)
em que
cn=1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) d x kappan=integral0^1 Xn^2(x) d x
Transformar as equações cartesianas para polares:
d) x^2 + y^2 + 3y = 0
partial^2 upartial t^2=c^2(partial^2 upartial x^2+1r partial^2 upartial r^2++1r^2 partial^2 upartial theta^2), 00
com as seguintes condições de contorno e inicial
& u(a, theta, t)=0, t>0, & u(r, theta, 0)=f(r, theta), partial u(r, theta, 0)partial t=g(r, theta), 0
Note que theta é um ângulo polar, (r, theta) e (r, theta+2 pi) representa o mesmo ponto, e portanto u(r, theta, t)= (r, theta+2 pi, t). Em outras palavras, u tem período 2 pi em theta.
Mostre que lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2 não existe.
1 P.