em uma placa retangular unitária. Assuma condições de contorno homogênea,
, e
. A distribuição de temperatura inicial em
e dada por
. Apresente gráficos com a evolução da temperatura na placa para diferentes instantes de tempo:
, e 10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de difusão de calor em duas dimensões, que descreve como a temperatura
varia no tempo e no espaço dentro de uma placa retangular unitária. A equação dada é:
Além disso, temos as condições de contorno homogêneas
nas bordas da placa,
, e uma distribuição de temperatura inicial
quando
. Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação e, por fim, apresentar gráficos da temperatura em diferentes instantes de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com a equação do calor em duas dimensões. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação junto com as condições de contorno e a condição inicial fornecida.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma das variáveis.
Passo 3
Assumimos que a solução pode ser escrita como:
Onde
depende apenas de
,
depende apenas de
e depende apenas do tempo
.
Vamos substituir essa forma na equação do calor para separar as variáveis.
Passo 4
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende de
e
, cada lado deve ser igual a uma constante negativa, digamos
. Assim, temos:
e
Onde
são constantes de separação.
Passo 5
Resolvendo as equações diferenciais para
e
com as condições de contorno
e
, encontramos que as soluções são funções senoidais:
Onde
e
são inteiros positivos. As constantes de separação associadas são
e
.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação temporal:
A solução dessa equação é:
Como
, simplifica para:
Passo 7
Portanto, a solução geral da equação do calor é uma soma dupla das soluções separadas:
Onde
são os coeficientes a serem determinados a partir da condição inicial
.
Passo 8
Para encontrar os coeficientes
, usamos a ortogonalidade das funções seno. Calculamos:
Essas integrais podem ser calculadas separadamente para
e
, já que a função inicial é o produto de funções de
e
. No entanto, para simplificar, consideraremos apenas os primeiros termos da série na prática para gerar os gráficos.
Resposta
A distribuição de temperatura na placa para qualquer instante de tempo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados através das integrais:
Para obter os gráficos da evolução da temperatura na placa nos instantes de tempo
e
, você pode truncar a série após alguns termos (por exemplo,
) e calcular
para esses valores de
. Utilizando software como MATLAB, Python (com bibliotecas como NumPy e Matplotlib) ou mesmo ferramentas de visualização gráfica, você pode plotar a distribuição de temperatura na placa para cada instante de tempo desejado.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que
em que
Transformar as equações cartesianas para polares:
d)
d)
com as seguintes condições de contorno e inicial
Note que
é um ângulo polar,
e
representa o mesmo ponto, e portanto
. Em outras palavras,
tem período
em
.
Mostre que
não existe.
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