Mostre que o limite näo existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite não existe. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente limites em duas variáveis. Vamos precisar analisar diferentes caminhos que aproximam de e ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando . Substituindo por 0 na função:
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando . Substituindo por 0 na função:
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Até agora, está tudo bem porque nos dois caminhos o limite deu 0. Mas para mostrar que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes. Vamos tentar um caminho onde .
Substituindo por :
Aqui, o denominador é 0, o que significa que a função não está definida nesse caminho. Isso sugere que há um comportamento diferente nesse caminho, indicando que o limite pode não existir.

Passo 5

Outra abordagem é tentar um caminho onde , onde é uma constante. Vamos substituir por :
Aqui, o limite depende do valor de . Isso significa que para diferentes valores de , obtemos diferentes resultados para o limite.

Resposta

Como ao escolher diferentes caminhos para aproximar de o limite da função assume valores diferentes ou nem está definido, concluímos que o limite não existe.

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x
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