Mostre que o limite näo existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite
não existe. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente limites em duas variáveis. Vamos precisar analisar diferentes caminhos que aproximam
de
e ver se obtemos resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando
. Substituindo
por 0 na função:
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando
. Substituindo
por 0 na função:
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.
Passo 4
Até agora, está tudo bem porque nos dois caminhos o limite deu 0. Mas para mostrar que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes. Vamos tentar um caminho onde
.
Substituindo
por
:
Aqui, o denominador é 0, o que significa que a função não está definida nesse caminho. Isso sugere que há um comportamento diferente nesse caminho, indicando que o limite pode não existir.
Passo 5
Outra abordagem é tentar um caminho onde
, onde
é uma constante. Vamos substituir
por
:
Aqui, o limite depende do valor de
. Isso significa que para diferentes valores de
, obtemos diferentes resultados para o limite.
Resposta
Como ao escolher diferentes caminhos para aproximar
de
o limite da função assume valores diferentes ou nem está definido, concluímos que o limite não existe.
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x
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Descreva o conjunto dos pontos do plano xy em que
é contínua.
Resolva as equações diferenciais: