Mostre que o limite näo existe.
x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o limite da função
não existe. Isso faz parte do estudo de limites em várias variáveis, onde analisamos o comportamento da função quando as variáveis se aproximam de determinados valores. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes direções. Se encontrarmos pelo menos duas direções que dão resultados diferentes, isso mostrará que o limite não existe.

Passo 2

Vamos escolher duas trajetórias diferentes para abordar o ponto (0,0,0). Uma abordagem comum é escolher caminhos onde duas das variáveis são iguais e as outras é zero, por exemplo:
  1. Trajetória 1: e
  2. Trajetória 2: e

Passo 3

Calculando o limite na Trajetória 1: e
Substituindo na função:
Então, ao longo dessa trajetória, o limite é 3.

Passo 4

Calculando o limite na Trajetória 2: e
Substituindo na função:
Aqui, o denominador fica zero já que , o que torna a expressão indefinida. Isso sugere que, ao longo dessa trajetória, o limite tende ao infinito ou não existe de forma definida.

Passo 5

Observamos que ao escolher trajetórias diferentes, obtivemos resultados distintos: na primeira, o limite foi 3, e na segunda, a expressão não está bem definida (tende ao infinito). Como os limites são diferentes dependendo do caminho que seguimos para chegar ao ponto (0,0,0), isso indica que o limite geral da função não existe.

Resposta

O limite não existe.

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