Mostre que o limite não existe considerando os limites quando (x, y) (0,0) ao longo dos eixos coordenados. lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2;

Passo 1

Vamos analisar o limite da função x + y2x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em funções de duas variáveis e a verificação da existência do limite ao longo de diferentes caminhos. Para resolver isso, vamos calcular o limite ao longo dos eixos coordenados, ou seja, quando nos movemos apenas na direção do eixo x ou do eixo y.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o limite ao longo do eixo x. Isso significa que y = 0. Substituindo na função:
limx to 0 x + 02x^2 + 0^2 = limx to 0 x2x^2 = limx to 0 12x
À medida que x se aproxima de 0, 12x tende para +infty ou -infty dependendo do lado por onde nos aproximamos de 0. Portanto, o limite ao longo do eixo x não é finito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo na função:
limy to 0 0 + y2 cdot 0^2 + y^2 = limy to 0 yy^2 = limy to 0 1y
Similarmente, à medida que y se aproxima de 0, 1y também tende para +infty ou -infty, dependendo da direção de aproximação. Assim, o limite ao longo do eixo y também não é finito.

Passo 4

Como o limite ao longo do eixo x e o limite ao longo do eixo y não são finitos e, além disso, tendem para valores diferentes dependendo da direção de aproximação, concluímos que o limite geral da função x + y2x^2 + y^2 quando (x, y) (0,0) não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2 não existe.

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