Mostre que o limite não existe considerando os limites quando ao longo dos eixos coordenados. ;

Passo 1

Vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . O conteúdo envolve limites em funções de duas variáveis e a verificação da existência do limite ao longo de diferentes caminhos. Para resolver isso, vamos calcular o limite ao longo dos eixos coordenados, ou seja, quando nos movemos apenas na direção do eixo x ou do eixo y.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o limite ao longo do eixo x. Isso significa que y = 0. Substituindo na função:
À medida que x se aproxima de 0, tende para ou dependendo do lado por onde nos aproximamos de 0. Portanto, o limite ao longo do eixo x não é finito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo na função:
Similarmente, à medida que y se aproxima de 0, também tende para ou , dependendo da direção de aproximação. Assim, o limite ao longo do eixo y também não é finito.

Passo 4

Como o limite ao longo do eixo x e o limite ao longo do eixo y não são finitos e, além disso, tendem para valores diferentes dependendo da direção de aproximação, concluímos que o limite geral da função quando não existe.

Resposta

O limite não existe.

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