Mostre que o limite não existe considerando os limites quando
ao longo dos eixos coordenados.
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Passo 1
Vamos analisar o limite da função
quando
se aproxima de
. O conteúdo envolve limites em funções de duas variáveis e a verificação da existência do limite ao longo de diferentes caminhos. Para resolver isso, vamos calcular o limite ao longo dos eixos coordenados, ou seja, quando nos movemos apenas na direção do eixo x ou do eixo y.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o limite ao longo do eixo x. Isso significa que y = 0. Substituindo na função:
À medida que x se aproxima de 0,
tende para
ou
dependendo do lado por onde nos aproximamos de 0. Portanto, o limite ao longo do eixo x não é finito.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo na função:
Similarmente, à medida que y se aproxima de 0,
também tende para
ou
, dependendo da direção de aproximação. Assim, o limite ao longo do eixo y também não é finito.
Passo 4
Como o limite ao longo do eixo x e o limite ao longo do eixo y não são finitos e, além disso, tendem para valores diferentes dependendo da direção de aproximação, concluímos que o limite geral da função
quando
não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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Calcule o limite fazendo a substituição
e observando que
se, e somente se,
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