,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
E a condição inicial
.
Este exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois, integraremos para achar a solução geral e usaremos a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma equação diferencial seja exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
devem corresponder a
e
, respectivamente.
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a equação é exata calculando
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique toda a equação e a torne exata. Geralmente, tentamos fatores integrantes que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
Para encontrar
, usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores que já calculamos:
Simplificando:
Cancelando
:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Para encontrar
, aplicamos a exponenciação:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 6
Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:
Agora, a equação se tornou exata graças ao fator integrante.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Focando na parte que envolve
, percebemos que ao derivar em relação a
, a função
deve ser tal que:
Após integração e simplificação, podemos concluir que a solução geral da equação é dada por:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Isso satisfaz a condição inicial
, confirmando que
é a solução particular desejada.
Exercícios relacionados
Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
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Mostre que o limite não existe considerando os limites quando
ao longo dos eixos coordenados.
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Calcule o limite fazendo a substituição
e observando que
se, e somente se,
.
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