,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
E a condição inicial .
Este exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois, integraremos para achar a solução geral e usaremos a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma equação diferencial seja exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de em relação a e devem corresponder a e , respectivamente.
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a equação é exata calculando e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique toda a equação e a torne exata. Geralmente, tentamos fatores integrantes que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .
Para encontrar , usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores que já calculamos:
Simplificando:
Cancelando :
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Para encontrar , aplicamos a exponenciação:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:
Agora, a equação se tornou exata graças ao fator integrante.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a para encontrar :
Focando na parte que envolve , percebemos que ao derivar em relação a , a função deve ser tal que:
Após integração e simplificação, podemos concluir que a solução geral da equação é dada por:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Isso satisfaz a condição inicial , confirmando que é a solução particular desejada.

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Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
.
Mostre que o limite não existe considerando os limites quando ao longo dos eixos coordenados. ;
Calcule o limite fazendo a substituição e observando que se, e somente se, . .