Mostre que o limite não existe considerando os limites quando
ao longo dos eixos coordenados.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema quer saber se o limite
existe ou não. Para isso, vamos verificar os limites ao aproximar
de
ao longo dos eixos coordenados. Vamos precisar usar conceitos de limites em duas variáveis e entender como calcular limites ao longo de caminhos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o limite quando nos aproximamos de
ao longo do eixo
. Isso significa que
. Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de
nessa expressão
. Sabemos que conforme
se aproxima de
,
também se aproxima de
, e portanto
tende ao infinito.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo na expressão original:
Passo 5
Analogamente ao passo anterior, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
, e
também tende ao infinito.
Passo 6
Perceba que, ao nos aproximarmos de
pelos eixos
e
, ambos os limites tendem ao infinito. Mas para determinar se o limite geral existe, precisamos verificar se esse comportamento é o mesmo independente do caminho escolhido.
Passo 7
Vamos tentar outro caminho, por exemplo,
. Substituindo na expressão original:
Passo 8
Sabemos que
tende a
quando
tende a
, então a expressão aproxima-se de
, que também tende ao infinito.
Passo 9
Embora em todos os caminhos testados o limite tenda ao infinito, precisamos lembrar que para o limite existir de maneira finita, todos os caminhos devem levar ao mesmo valor finito. Como estamos obtendo limites infinitos, podemos concluir que o limite não existe de forma tradicional (ou seja, não é finito).
Resposta
O limite
não existe.
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