Mostre que o limite não existe considerando os limites quando ao longo dos eixos coordenados. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer saber se o limite existe ou não. Para isso, vamos verificar os limites ao aproximar de ao longo dos eixos coordenados. Vamos precisar usar conceitos de limites em duas variáveis e entender como calcular limites ao longo de caminhos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o limite quando nos aproximamos de ao longo do eixo . Isso significa que . Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de nessa expressão . Sabemos que conforme se aproxima de , também se aproxima de , e portanto tende ao infinito.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na expressão original:

Passo 5

Analogamente ao passo anterior, quando se aproxima de , se aproxima de , e também tende ao infinito.

Passo 6

Perceba que, ao nos aproximarmos de pelos eixos e , ambos os limites tendem ao infinito. Mas para determinar se o limite geral existe, precisamos verificar se esse comportamento é o mesmo independente do caminho escolhido.

Passo 7

Vamos tentar outro caminho, por exemplo, . Substituindo na expressão original:

Passo 8

Sabemos que tende a quando tende a , então a expressão aproxima-se de , que também tende ao infinito.

Passo 9

Embora em todos os caminhos testados o limite tenda ao infinito, precisamos lembrar que para o limite existir de maneira finita, todos os caminhos devem levar ao mesmo valor finito. Como estamos obtendo limites infinitos, podemos concluir que o limite não existe de forma tradicional (ou seja, não é finito).

Resposta

O limite não existe.

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