Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) 1-x yx^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite . Estamos estudando limites de funções de duas variáveis, e para mostrar que esse limite não existe, vamos verificar se o valor do limite muda dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo 1 - x cdot 0x^2 + 0^2 = 1x^2 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Quando , tende a . Isso sugere que o limite pode ser infinito ao se aproximar pelo eixo .

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho ao longo do eixo 1 - 0 cdot y0^2 + y^2 = 1y^2 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Quando , também tende a . Até agora, ambos os caminhos apontam para o infinito.

Passo 4

Para concluir que o limite não existe, precisamos encontrar ao menos dois caminhos diferentes que dão resultados distintos. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, linha 1 - x cdot xx^2 + x^2 = 1 - x^22x^2 = 12x^2 - 12 . Substituindo na função:
1 - x cdot x^2x^2 + x^4 = 1 - x^3x^2(1 + x^2) = 1x^2(1 + x^2) - x1 + x^2
Quando , tende a , mas o termo não afeta o comportamento assintótico.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, como parábola . Substituindo na função:
Quando , tende a , enquanto tende a . Portanto, mesmo por esse caminho, o limite tende a .

Passo 5

Vamos tentar um caminho que não explode para infinito, por exemplo, reta 1 - x cdot 1xx^2 + (1x)^2 = 1 - 1x^2 + 1x^2 = 0x^2 + 1x^2 = 0 (com ). Substituindo na função:
Aqui, o limite resulta em , que é diferente de obtido nos outros caminhos.

Resposta

Como ao escolher diferentes caminhos para se aproximar de , obtemos resultados diferentes (um tendendo a e outro tendendo a ), concluímos que o limite não existe.

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