Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Estamos estudando limites de funções de duas variáveis, e para mostrar que esse limite não existe, vamos verificar se o valor do limite muda dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo na função:
Quando
,
tende a
. Isso sugere que o limite pode ser infinito ao se aproximar pelo eixo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo na função:
Quando
,
também tende a
. Até agora, ambos os caminhos apontam para o infinito.
Passo 4
Para concluir que o limite não existe, precisamos encontrar ao menos dois caminhos diferentes que dão resultados distintos. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, linha
. Substituindo na função:
Quando
,
tende a
, mas o termo
não afeta o comportamento assintótico.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, como parábola
. Substituindo na função:
Quando
,
tende a
, enquanto
tende a
. Portanto, mesmo por esse caminho, o limite tende a
.
Passo 5
Vamos tentar um caminho que não explode para infinito, por exemplo, reta
(com
). Substituindo na função:
Aqui, o limite resulta em
, que é diferente de
obtido nos outros caminhos.
Resposta
Como ao escolher diferentes caminhos para se aproximar de
, obtemos resultados diferentes (um tendendo a
e outro tendendo a
), concluímos que o limite
não existe.
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Mostre que o limite não existe.
Seja
. Determine o limite de
quando
tende a
ao longo a curva
Mostre que o limite não existe.
Mostre que o limite não existe.