Usando o teorema da divergência, encontre o fluxo através da superficie de um cilindro concéntrico com ela onde
e
: Lado esquerdo do teorema da divergência. (2 pts)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo através da superfície de um cilindro com parâmetros específicos. Vamos precisar entender o que é o fluxo, o que diz o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a um cilindro com altura
e raio
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é dado por:
Isso basicamente mede quanto do campo passa pela superfície.
Passo 3
Agora, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo através da superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Isso facilita o cálculo porque às vezes é mais fácil integrar no volume do que na superfície.
Passo 4
Vamos assumir que o campo vetorial
é conhecido ou igual a algum campo padrão, como
, onde
é o vetor posição. A divergência deste campo é:
Isso porque a divergência de
em coordenadas cartesianas é 1 + 1 + 1 = 3.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o volume
do cilindro é dado por:
Então, a integral fica:
Resposta
O fluxo através da superfície do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Mostre que os limites abaixo não existem.
$(b)
$(b)
Resolva as seguintes equaçōes exponenciais:
Resolva as seguintes equaçōes exponenciais: