Usando o teorema da divergência, encontre o fluxo através da superficie de um cilindro concéntrico com ela onde 0 <= z <= h e rho = a : Lado esquerdo do teorema da divergência. (2 pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo através da superfície de um cilindro com parâmetros específicos. Vamos precisar entender o que é o fluxo, o que diz o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a um cilindro com altura e raio .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é dado por:
Isso basicamente mede quanto do campo passa pela superfície.

Passo 3

Agora, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Isso facilita o cálculo porque às vezes é mais fácil integrar no volume do que na superfície.

Passo 4

Vamos assumir que o campo vetorial é conhecido ou igual a algum campo padrão, como , onde é o vetor posição. A divergência deste campo é:
Isso porque a divergência de em coordenadas cartesianas é 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o volume do cilindro é dado por:
Então, a integral fica:

Resposta

O fluxo através da superfície do cilindro é .

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