Mostre que os limites não existem, considerando que
ao longo dos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite
não existe quando a gente se aproxima de
seguindo os eixos coordenados. Isso envolve entender limites em funções de duas variáveis e como diferentes caminhos podem levar a resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo x. Isso significa que y vai ser sempre 0. Então, substituindo y por 0 na função:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0. A expressão
fica cada vez maior, ou seja, tende ao infinito. Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo x, o limite é infinito.
Passo 4
Segundo, vamos considerar o caminho ao longo do eixo y. Isso significa que x vai ser sempre 0. Substituindo x por 0 na função:
Passo 5
Agora, observamos o que acontece quando
se aproxima de 0. A expressão
também fica cada vez maior, tendendo ao infinito. Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo y, o limite também é infinito.
Passo 6
Apesar de ambos os caminhos (eixo x e eixo y) apontarem para o limite infinito, para que o limite exista em duas variáveis, ele precisa ser o mesmo independente do caminho escolhido. Mas nesse caso, como ambos tendem ao mesmo valor (infinito), não temos uma divergência nos valores.
Passo 7
No entanto, em cálculo, quando os limites tendem ao infinito, dizemos que o limite não existe de forma finita. É importante notar que estamos lidando com um comportamento onde a função cresce sem limites próximos a
.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
29.
29.
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
27.
27.