Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
29.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para expandir a função usando a série binomial e também determinar o raio de convergência dessa série. A série binomial é uma técnica que nos ajuda a escrever funções em forma de série de potências, o que é super útil em várias áreas da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique parecida com a fórmula da série binomial. Sabemos que a série binomial é aplicada a expressões do tipo , então precisamos manipular nossa função para se encaixar nesse formato.

Passo 3

Vamos fatorar o 2 que está dentro da raiz para facilitar a transformação:
Agora, a gente tem algo parecido com , onde e .

Passo 4

Agora, aplicamos a série binomial na expressão . A série binomial para e qualquer número real é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos substituir e na série binomial:
Simplificando os termos:
Agora, multiplicamos por para obter a expansão final:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição , que no nosso caso é . Resolvendo para :
Isso significa que a série converge quando está no intervalo , e o raio de convergência é 2.

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é 2.

Exercícios relacionados

Mostre que os limites não existem, considerando que ao longo dos eixos coordenados.
Resolva as seguintes EDO
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
27.
Resolva as seguintes EDO