Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
29.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para expandir a função usando a série binomial e também determinar o raio de convergência dessa série. A série binomial é uma técnica que nos ajuda a escrever funções em forma de série de potências, o que é super útil em várias áreas da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique parecida com a fórmula da série binomial. Sabemos que a série binomial é aplicada a expressões do tipo , então precisamos manipular nossa função para se encaixar nesse formato.
Passo 3
Vamos fatorar o 2 que está dentro da raiz para facilitar a transformação:
Agora, a gente tem algo parecido com , onde e .
Passo 4
Agora, aplicamos a série binomial na expressão . A série binomial para e qualquer número real é dada por:
No nosso caso, e .
Passo 5
Vamos substituir e na série binomial:
Simplificando os termos:
Agora, multiplicamos por para obter a expansão final:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição , que no nosso caso é . Resolvendo para :
Isso significa que a série converge quando está no intervalo , e o raio de convergência é 2.