Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem a função
e precisamos expandi-la usando a série binomial, ou seja, escrever essa função como uma série de potências. Além disso, temos que descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial para expoentes fracionários.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que a gente possa aplicar a série binomial. Sabemos que:
Agora, isso tá na forma de
, onde
e
. Essa forma é perfeita pra gente usar a série binomial.
Passo 3
A fórmula da série binomial para
é a seguinte:
Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na série binomial, temos:
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes:
Para o termo
:
Para o termo
:
E assim por diante.
Passo 6
Então, juntando tudo, os primeiros termos da série ficam assim:
Passo 7
Agora, vamos descobrir o raio de convergência da série binomial. A série converge quando
, onde
. Isso significa:
Então, o raio de convergência é
.
Resposta
A expansão da função
em série de potências é:
E o raio de convergência da série é
.
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Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
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Mostre que os limites não existem, considerando que
ao longo dos eixos coordenados.
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO