Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
27.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisamos expandi-la usando a série binomial, ou seja, escrever essa função como uma série de potências. Além disso, temos que descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial para expoentes fracionários.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que a gente possa aplicar a série binomial. Sabemos que:
Agora, isso tá na forma de , onde e . Essa forma é perfeita pra gente usar a série binomial.

Passo 3

A fórmula da série binomial para é a seguinte:
Vamos aplicar essa fórmula com e .

Passo 4

Substituindo e na série binomial, temos:

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes:
Para o termo :
Para o termo :
E assim por diante.

Passo 6

Então, juntando tudo, os primeiros termos da série ficam assim:

Passo 7

Agora, vamos descobrir o raio de convergência da série binomial. A série converge quando , onde . Isso significa:
Então, o raio de convergência é .

Resposta

A expansão da função em série de potências é:
E o raio de convergência da série é .

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29.
Mostre que os limites não existem, considerando que ao longo dos eixos coordenados.
Resolva as seguintes EDO
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