Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a equação
é uma Equação de Bernoulli e resolver usando uma substituição adequada. As Equações de Bernoulli são um tipo especial de equações diferenciais que podemos resolver com uma mudança de variável inteligente. Então, vamos precisar reconhecer a forma da Bernoulli e escolher a substituição certa para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais parecida com a forma padrão da Equação de Bernoulli. A forma geral é:
Então, vamos dividir ambos os lados da nossa equação por
para isolar
:
Agora, rearranjamos para ter todos os termos com
de um lado:
Percebemos que aqui temos um termo com
e outro com
, o que é típico das Equações de Bernoulli com
.
Passo 3
Como a Equação de Bernoulli tem a forma
, vamos fazer a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Mas lembrando que
, então substituímos:
Agora, essa é uma Equação Linear em
. Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso se simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Então, isolamos
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
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Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Verifique que a função
é uma solução e
, com
constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária
e pela condição inicial
.
Mostre que os limites a seguir não existem: