Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a equação é uma Equação de Bernoulli e resolver usando uma substituição adequada. As Equações de Bernoulli são um tipo especial de equações diferenciais que podemos resolver com uma mudança de variável inteligente. Então, vamos precisar reconhecer a forma da Bernoulli e escolher a substituição certa para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais parecida com a forma padrão da Equação de Bernoulli. A forma geral é:
Então, vamos dividir ambos os lados da nossa equação por para isolar :
Agora, rearranjamos para ter todos os termos com de um lado:
Percebemos que aqui temos um termo com e outro com , o que é típico das Equações de Bernoulli com .

Passo 3

Como a Equação de Bernoulli tem a forma , vamos fazer a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Rearranjando para :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Mas lembrando que , então substituímos:
Agora, essa é uma Equação Linear em . Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso se simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Então, isolamos :
Lembrando que , substituímos de volta:
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Verifique que a função é uma solução e , com constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária e pela condição inicial .
Mostre que os limites a seguir não existem: