Seja T: R^2 longmapsto R^2 uma transformação linear e Q um quadrado contido em R^2. É possível que T(Q) seja:
  • um círculo?
  • um retângulo que não é um quadrado?
  • apenas um ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear e um quadrado no plano. A questão quer saber o que pode acontecer com esse quadrado quando aplicamos a transformação nele. Vamos precisar entender o que são transformações lineares e como elas agem em formas geométricas, tipo quadrados.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma transformação linear preserva operações de adição e multiplicação por escalar. No plano, isso significa que um quadrado pode ser transformado em outras figuras geométricas, como paralelogramos ou retângulos, dependendo da transformação aplicada.

Passo 3

Vamos analisar a primeira pergunta: É possível que seja um círculo?
Transformações lineares no plano sempre mapeiam formas que são imagens de figuras básicas como quadrados. Um círculo, no entanto, é uma figura curva que não pode ser obtida diretamente a partir de um quadrado usando apenas transformações lineares, porque essas transformações não introduzem curvaturas. Elas só “esticam”, “encolhem” ou “giram” a figura.

Passo 4

Agora, a segunda pergunta: É possível que seja um retângulo que não é um quadrado?
Sim, isso é possível! Se a transformação linear esticar o quadrado mais em uma direção do que na outra, ele se tornará um retângulo. Isso acontece porque as transformações lineares podem alterar os comprimentos dos lados, mantendo os ângulos retos se a transformação for ortogonal, mas mesmo que não mantenham, ainda assim pode resultar em um retângulo que não é mais um quadrado.

Passo 5

Por fim, a terceira pergunta: É possível que seja apenas um ponto?
Sim, isso também é possível! Se a transformação linear for a transformação nula (ou seja, mapeia todo vetor para o vetor zero), então qualquer figura, incluindo o quadrado , será mapeada para apenas um ponto no plano.

Resposta

Resumindo:
  • Círculo? Não, uma transformação linear de um quadrado não pode resultar em um círculo.
  • Retângulo que não é um quadrado? Sim, é possível.
  • Apenas um ponto? Sim, se a transformação for nula.

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