(a) Mostre que a massa específica
da água a uma profundidade y do oceano está relacionada com a massa específica na superfície
por:
onde
é o módulo de compressibilidade da água. Despreze as variações na temperatura. (b) De quanto a massa específica a uma profundidade de 4200 m excede a massa específica na superfície?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Na primeira, a gente precisa mostrar como a massa específica da água muda com a profundidade no oceano. Isso envolve conceitos de densidade, pressão e compressibilidade da água. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona essas variáveis. Na segunda parte, vamos calcular exatamente quanto a densidade aumenta a uma profundidade de 4200 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão no fundo do oceano aumenta com a profundidade. A pressão total
a uma profundidade
é dada por:
Aqui,
é a pressão na superfície (que podemos considerar como a pressão atmosférica),
é a massa específica da água,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade.
Passo 3
A massa específica
da água varia com a pressão devido à compressibilidade. A relação entre a variação da massa específica e a pressão é dada por:
Onde
é o módulo de compressibilidade da água.
Passo 4
Vamos integrar essa relação para encontrar
em função de
. Considerando que na superfície
e
, temos:
Substituindo
:
Integrando ambos os lados:
Como
quando
,
. Então:
Exponentiando ambos os lados:
Resposta
A massa específica da água a uma profundidade de 4200 metros excede a massa específica na superfície em aproximadamente
.