(a) Mostre que a massa específica rho da água a uma profundidade y do oceano está relacionada com a massa específica na superfície rhos por: rho approx rhos[1+(rhos g / B) y] onde B=2,2 GPa é o módulo de compressibilidade da água. Despreze as variações na temperatura. (b) De quanto a massa específica a uma profundidade de 4200 m excede a massa específica na superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Na primeira, a gente precisa mostrar como a massa específica da água muda com a profundidade no oceano. Isso envolve conceitos de densidade, pressão e compressibilidade da água. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona essas variáveis. Na segunda parte, vamos calcular exatamente quanto a densidade aumenta a uma profundidade de 4200 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão no fundo do oceano aumenta com a profundidade. A pressão total P = P0 + rho g y a uma profundidade é dada por:
Aqui, é a pressão na superfície (que podemos considerar como a pressão atmosférica), é a massa específica da água, é a aceleração da gravidade e é a profundidade.

Passo 3

A massa específica drhodP = rhoB da água varia com a pressão devido à compressibilidade. A relação entre a variação da massa específica e a pressão é dada por:
Onde é o módulo de compressibilidade da água.

Passo 4

Vamos integrar essa relação para encontrar drho = rhoB dP em função de drho = rhoB rho g dy . Considerando que na superfície drhorho = rho gB dy e ln(rho) = rho gB y + C , temos:
ln(rho) = ln(rhos) + rhos gB y
Substituindo rho = rhos (1 + rhos gB y) :
Integrando ambos os lados:
Como quando , . Então:
Exponentiando ambos os lados:

Resposta

A massa específica da água a uma profundidade de 4200 metros excede a massa específica na superfície em aproximadamente .

Exercícios relacionados