Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes e
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que esse exercício está pedindo. A gente tem uma matriz e queremos mostrar que ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes: , e . Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, significa que a matriz pode ser obtida somando as matrizes , e multiplicadas por certos números (que vamos chamar de coeficientes). Ou seja, queremos achar números , e tais que:
Passo 3
Vamos escrever essa equação com as matrizes substituídas:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos coeficientes , e :
Passo 5
Vamos somar as matrizes do lado direito:
Passo 6
Agora, igualamos cada elemento correspondente das matrizes:
Podemos simplificar essas equações dividindo por constantes:
x - y + z = 4 x + y - z = -2 x + y - z = -2 x - y + z = 4
Percebemos que temos duas equações distintas repetidas. Vamos resolver o sistema:
x - y + z = 4 x + y - z = -2
Somando as duas equações:
2x = 2 Rightarrow x = 1
Substituindo x = 1 na segunda equação:
1 + y - z = -2 Rightarrow y - z = -3
E na primeira equação:
1 - y + z = 4 Rightarrow -y + z = 3
Agora, temos:
y - z = -3 -y + z = 3
Somando essas duas:
0 = 0
Isso indica que as equações são dependentes, e podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos resolver para y:
y = z - 3
Passo 7
Agora, concluímos que x = 1, y = z - 3 e z pode ser qualquer número real. Para que a combinação linear funcione para a matriz A, vamos escolher z de forma que todas as equações sejam satisfeitas. Escolhendo z = 0, temos y = -3. Portanto:
A = 1 cdot B + (-3) cdot C + 0 cdot D
Resposta
A matriz A pode ser escrita como combinação linear de B, C e D da seguinte forma: