Mostre que a matriz A=(cc4 & -4 -6 & 16) pode ser escrita como combinação linear das matrizes B=(ll1 & 2 3 & 4), C=(cc-1 & 2 3 & -4) e D=(cc1 & -2 -3 & 4)

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que esse exercício está pedindo. A gente tem uma matriz A = 4 & -4 -6 & 16 e queremos mostrar que ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes: B = 1 & 2 3 & 4, C = -1 & 2 3 & -4 e D = 1 & -2 -3 & 4. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, significa que a matriz A pode ser obtida somando as matrizes B, C e D multiplicadas por certos números (que vamos chamar de coeficientes). Ou seja, queremos achar números x, y e z tais que:
A = xB + yC + zD

Passo 3

Vamos escrever essa equação com as matrizes substituídas:
4 & -4 -6 & 16 = x 1 & 2 3 & 4 + y -1 & 2 3 & -4 + z 1 & -2 -3 & 4

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos coeficientes x, y e z:
4 & -4 -6 & 16 = x & 2x 3x & 4x + -y & 2y 3y & -4y + z & -2z -3z & 4z

Passo 5

Vamos somar as matrizes do lado direito:
4 & -4 -6 & 16 = x - y + z & 2x + 2y - 2z 3x + 3y - 3z & 4x - 4y + 4z

Passo 6

Agora, igualamos cada elemento correspondente das matrizes:
x - y + z = 4 2x + 2y - 2z = -4 3x + 3y - 3z = -6 4x - 4y + 4z = 16
Podemos simplificar essas equações dividindo por constantes:
x - y + z = 4 x + y - z = -2 x + y - z = -2 x - y + z = 4
Percebemos que temos duas equações distintas repetidas. Vamos resolver o sistema:
x - y + z = 4 x + y - z = -2
Somando as duas equações:
2x = 2 Rightarrow x = 1
Substituindo x = 1 na segunda equação:
1 + y - z = -2 Rightarrow y - z = -3
E na primeira equação:
1 - y + z = 4 Rightarrow -y + z = 3
Agora, temos:
y - z = -3 -y + z = 3
Somando essas duas:
0 = 0
Isso indica que as equações são dependentes, e podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos resolver para y:
y = z - 3

Passo 7

Agora, concluímos que x = 1, y = z - 3 e z pode ser qualquer número real. Para que a combinação linear funcione para a matriz A, vamos escolher z de forma que todas as equações sejam satisfeitas. Escolhendo z = 0, temos y = -3. Portanto:
A = 1 cdot B + (-3) cdot C + 0 cdot D

Resposta

A matriz A pode ser escrita como combinação linear de B, C e D da seguinte forma:
A = B - 3C

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