Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes e
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que esse exercício está pedindo. A gente tem uma matriz e queremos mostrar que ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes: , e . Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, significa que a matriz pode ser obtida somando as matrizes , e multiplicadas por certos números (que vamos chamar de coeficientes). Ou seja, queremos achar números , e tais que:
Passo 3
Vamos escrever essa equação com as matrizes substituídas:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos coeficientes , e :
Passo 5
Vamos somar as matrizes do lado direito:
Passo 6
Agora, igualamos cada elemento correspondente das matrizes:
Podemos simplificar essas equações dividindo por constantes:
Percebemos que temos duas equações distintas repetidas. Vamos resolver o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Agora, temos:
Somando essas duas:
Isso indica que as equações são dependentes, e podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos resolver para :
Passo 7
Agora, concluímos que , e pode ser qualquer número real. Para que a combinação linear funcione para a matriz , vamos escolher de forma que todas as equações sejam satisfeitas. Escolhendo , temos . Portanto:
Resposta
A matriz pode ser escrita como combinação linear de , e da seguinte forma: