Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes e

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que esse exercício está pedindo. A gente tem uma matriz e queremos mostrar que ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes: , e . Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, significa que a matriz pode ser obtida somando as matrizes , e multiplicadas por certos números (que vamos chamar de coeficientes). Ou seja, queremos achar números , e tais que:

Passo 3

Vamos escrever essa equação com as matrizes substituídas:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos coeficientes , e :

Passo 5

Vamos somar as matrizes do lado direito:

Passo 6

Agora, igualamos cada elemento correspondente das matrizes:
Podemos simplificar essas equações dividindo por constantes:
Percebemos que temos duas equações distintas repetidas. Vamos resolver o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Agora, temos:
Somando essas duas:
Isso indica que as equações são dependentes, e podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, concluímos que , e pode ser qualquer número real. Para que a combinação linear funcione para a matriz , vamos escolher de forma que todas as equações sejam satisfeitas. Escolhendo , temos . Portanto:

Resposta

A matriz pode ser escrita como combinação linear de , e da seguinte forma:

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Sejam e , d,
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