Sejam W1=[lla & b 0 & 0], a, b in R e W2=[ll0 & 0 c & d], d, c in R]
a) W1 i subupaco de M(2,2) ?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto W1 = a & b 0 & 0 mid a, b in R composto por matrizes da forma:
Queremos saber se é um subespaço de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Contém a matriz zero: Verificar se a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se somarmos duas matrizes de , o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz de por um número real, o resultado também deve estar em .

Passo 2

Verificando se 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero:
A matriz zero em a & b 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 é:
Para que esta matriz esteja em , precisamos que exista e tais que:
Isso acontece quando e , que são números reais. Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Verificando se A = a & b 0 & 0 , B = c & d 0 & 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de A + B = a + c & b + d 0 + 0 & 0 + 0 = a + c & b + d 0 & 0 :
Somando e :
Como e são números reais, a matriz resultante também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se A = a & b 0 & 0 , kA = ka & kb 0 & 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de e multiplicar por um escalar :
Como e são números reais, a matriz resultante também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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