Sejam
e
, d,
a)
i subupaco de
?
a)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
composto por matrizes
da forma:
Queremos saber se
é um subespaço de
, que é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, precisamos verificar três coisas:
- Contém a matriz zero: Verificar se a matriz zero está em
. - Fechado sob adição: Se somarmos duas matrizes de
, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz de
por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 2
Verificando se
contém a matriz zero:
A matriz zero em
é:
Para que esta matriz esteja em
, precisamos que exista
e
tais que:
Isso acontece quando
e
, que são números reais. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
:
Somando
e
:
Como
e
são números reais, a matriz resultante também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer de
e multiplicar por um escalar
:
Como
e
são números reais, a matriz resultante
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Mostre que a matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
e
Sejam
e
, d,
b) é subupacyo de
?
b)
Se
éun pluno e
é uma reta contida neste plano, ambos passando pela origem, mostre que
.
Mostre que o vetor
não é combinação linear dos vetores
e
.