Sejam W1=[lla & b 0 & 0], a, b in R e W2=[ll0 & 0 c & d], d, c in R]
b) W2 é subupacyo de M(2,2) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto 0 & 0 c & d , formado por matrizes do tipo onde , é um subespaço do espaço das matrizes . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e as condições para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor nulo de está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. O conjunto contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço 0 & 0 0 & 0 é a matriz 0 & 0 0 & 0 in W2 . Vamos ver se ela está em .
Substituindo e na definição de , temos:
Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = 0 & 0 c1 & d1 e B = 0 & 0 c2 & d2 :
A + B = 0 + 0 & 0 + 0 c1 + c2 & d1 + d2 = 0 & 0 c1 + c2 & d1 + d2
Agora, vamos somar essas duas matrizes:
Note que a soma também está na forma de , pois os elementos e são reais. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em A = 0 & 0 c & d e um escalar k cdot A = k cdot 0 & k cdot 0 k cdot c & k cdot d = 0 & 0 k c & k d :
Multiplicando pelo escalar :
Novamente, a matriz está na forma de , já que e são reais. Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que é um subespaço de .

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