Sejam
e
, d,
b)
é subupacyo de
?
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto
, formado por matrizes do tipo
onde
, é um subespaço do espaço das matrizes
. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e as condições para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor nulo de
está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. O conjunto contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é a matriz
. Vamos ver se ela está em
.
Substituindo
e
na definição de
, temos:
Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Agora, vamos somar essas duas matrizes:
Note que a soma
também está na forma de
, pois os elementos
e
são reais. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em
e um escalar
:
Multiplicando
pelo escalar
:
Novamente, a matriz
está na forma de
, já que
e
são reais. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que
é um subespaço de
.