Sejam e , d,
b) é subupacyo de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto , formado por matrizes do tipo onde , é um subespaço do espaço das matrizes . Para isso, vamos precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e as condições para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor nulo de está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. O conjunto contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é a matriz . Vamos ver se ela está em .
Substituindo e na definição de , temos:
Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Agora, vamos somar essas duas matrizes:
Note que a soma também está na forma de , pois os elementos e são reais. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em e um escalar :
Multiplicando pelo escalar :
Novamente, a matriz está na forma de , já que e são reais. Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Sejam , . Calcule, quando possível:
Responda se os subconjuntos sāo sobespaco, de . (operaçás usvais de sodtrizes)
b)
Mostre que a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes e
Sejam e , d,
a) i subupaco de ?