Seja A a matriz
[ll 2 & 0 4 & 1 ]
Em cada parte, calcule a quantidade dada. p(A), onde p(x)=x^3-2 x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e pede para calcular , onde . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de polinômios de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular , multiplicar por e somar a matriz identidade multiplicada por 4. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 2 & 0 4 & 1 , ou seja, multiplicar a matriz A^2 = A cdot A = 2 & 0 4 & 1 cdot 2 & 0 4 & 1 = (2 times 2 + 0 times 4) & (2 times 0 + 0 times 1) (4 times 2 + 1 times 4) & (4 times 0 + 1 times 1) = 4 & 0 12 & 1 por ela mesma. A matriz é:
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 cdot A = 4 & 0 12 & 1 cdot 2 & 0 4 & 1 = (4 times 2 + 0 times 4) & (4 times 0 + 0 times 1) (12 times 2 + 1 times 4) & (12 times 0 + 1 times 1) = 8 & 0 28 & 1 , que é multiplicado por :

Passo 4

Vamos agora calcular -2A = -2 cdot 2 & 0 4 & 1 = -4 & 0 -8 & -2 . Basta multiplicar cada elemento de por :

Passo 5

Em seguida, precisamos adicionar 4I = 4 cdot 1 & 0 0 & 1 = 4 & 0 0 & 4 , onde é a matriz identidade 2x2:

Passo 6

Agora, juntamos tudo para calcular p(A) = 8 & 0 28 & 1 + -4 & 0 -8 & -2 + 4 & 0 0 & 4 :
p(A) = 8 - 4 + 4 & 0 + 0 + 0 28 - 8 + 0 & 1 - 2 + 4 = 8 & 0 20 & 3
Vamos somar as matrizes elemento a elemento:

Resposta

p(A) = 8 & 0 20 & 3

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Seja A a matriz
[ll 2 & 0 4 & 1 ]
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Seja A a matriz
[ll 2 & 0 4 & 1 ]
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Mostre que a matriz real
A=(ccc 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2 )
é invertível para todo a, b, c, d in R e calcule sua inversa.