Mostre que as matrizes A e B dadas são linha- equivalentes.
(a) A=(ll1 & 2 3 & 4), B=(cc3 & -1 1 & 0)

Passo 1

Beleza, temos duas matrizes, A e B, e o objetivo é mostrar que elas são linha-equivalentes. Isso significa que podemos transformar uma matriz na outra usando operações elementares de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas operações e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que operações elementares de linha incluem:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos começar com a matriz A:
A = 1 & 2 3 & 4

Passo 3

Nosso objetivo é transformar A na matriz B:
B = 3 & -1 1 & 0
Primeiro, vamos tentar criar o elemento “3” na posição (1,1) de A para que fique igual ao de B. Podemos fazer isso multiplicando a primeira linha de A por 3:
1 & 2 3 & 4 xrightarrowLinha 1 times 3 3 & 6 3 & 4

Passo 4

Agora, queremos que a segunda linha seja igual a (1, 0). Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
3 & 6 3 & 4 xrightarrowLinha 2 - Linha 1 3 & 6 0 & -2

Passo 5

Em seguida, vamos transformar o elemento -2 na posição (2,2) em 0. Podemos fazer isso multiplicando a segunda linha por -1:
3 & 6 0 & -2 xrightarrowLinha 2 times (-1) 3 & 6 0 & 2

Passo 6

Agora, precisamos ajustar a primeira linha para que a segunda coluna seja -1 como na matriz B. Subtraímos o dobro da segunda linha da primeira linha:
3 & 6 0 & 2 xrightarrowLinha 1 - 3 times Linha 2 3 & 0 0 & 2

Passo 7

Finalmente, normalizamos as linhas dividindo a primeira linha por 3 e a segunda linha por 2:
3 & 0 0 & 2 xrightarrowLinha 1 div 3, , Linha 2 div 2 1 & 0 0 & 1

Resposta

Assim, conseguimos transformar a matriz A na matriz identidade, o que confirma que existe uma sequência de operações elementares que conecta A a B. Portanto, as matrizes A e B são linha-equivalentes.

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