Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo
e
não existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar, com um exemplo, que o limite de
quando
se aproxima de
pode existir, mesmo que os limites de
e
individualmente não existam. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções podem se comportar perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um ponto
para o qual vamos calcular os limites. Vamos escolher
para facilitar os cálculos.
Passo 3
Agora, precisamos definir duas funções
e
de forma que:
-
não exista. -
não exista. - Porém,
exista.
Passo 4
Uma boa escolha para isso é usar funções que oscilam sem parar perto de
, mas que se cancelem quando somadas. Vamos definir:
Passo 5
Vamos analisar os limites individuais:
-
Para
, quando se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que oscile entre -1 e 1 sem se estabilizar. Portanto, não existe. -
Da mesma forma, para
, o comportamento é o mesmo, apenas invertendo os valores. Então, também não existe.
Passo 6
Agora, vamos somar
e
:
Passo 7
Com a soma das funções resultando sempre em 0, temos que:
Ou seja, o limite da soma existe e é igual a 0, mesmo que os limites individuais de
e
não existam.
Resposta
Com as funções
e
, mostramos que
existe, mesmo que
e
não existam.
Exercícios relacionados
Calcule (d)
Calcule ©
Seja
a função definida por
. (b) Repita o item anterior
e
.
Seja
a função definida por
. © Encontre
para
arbitrário. Conclua que
.