Mostre por meio de um exemplo que lim x c[f(x)+g(x)] pode existir mesmo lim x c f(x) e lim x c g(x) não existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar, com um exemplo, que o limite de quando se aproxima de pode existir, mesmo que os limites de e individualmente não existam. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções podem se comportar perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto para o qual vamos calcular os limites. Vamos escolher para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, precisamos definir duas funções e de forma que:
  1. não exista.
  2. não exista.
  3. Porém, exista.

Passo 4

Uma boa escolha para isso é usar funções que oscilam sem parar perto de f(x) = sin(1x) , mas que se cancelem quando somadas. Vamos definir:
g(x) = -sin(1x)

Passo 5

Vamos analisar os limites individuais:
  • Para , quando se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que oscile entre -1 e 1 sem se estabilizar. Portanto, não existe.
  • Da mesma forma, para , o comportamento é o mesmo, apenas invertendo os valores. Então, também não existe.

Passo 6

Agora, vamos somar f(x) + g(x) = sin(1x) - sin(1x) = 0 e :

Passo 7

Com a soma das funções resultando sempre em 0, temos que:
limx to 0 [f(x) + g(x)] = limx to 0 0 = 0
Ou seja, o limite da soma existe e é igual a 0, mesmo que os limites individuais de e não existam.

Resposta

Com as funções e , mostramos que existe, mesmo que e não existam.

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