Mostre que o método de Jacobi com
falha em dar uma boa aproximação após 25 iterações.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o método de Jacobi, começando com o vetor inicial
, não consegue dar uma boa aproximação após 25 iterações. O conteúdo envolvido aqui é o método de Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares. Para resolver isso, precisaremos entender como o método funciona e analisar o comportamento das iterções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o método de Jacobi. Ele é usado para resolver sistemas da forma
, onde
é uma matriz quadrada e
e
são vetores. A ideia é atualizar cada componente de
isoladamente, usando os valores das iterações anteriores.
A fórmula geral para a próxima iteração é:
Aqui,
é o novo valor da i-ésima variável na iteração
,
é o elemento diagonal da matriz
, e
é o i-ésimo elemento do vetor
.
Passo 3
Para que o método de Jacobi funcione bem e converja para a solução correta, a matriz
precisa satisfazer certas condições, como ser diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha da matriz, o valor absoluto do elemento diagonal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha:
Se essa condição não for atendida, o método pode não convergir ou demorar muito para chegar a uma aproximação aceitável.
Passo 4
No exercício, começamos com
. Isso significa que todas as variáveis começam com valor zero. Vamos executar algumas iterações do método de Jacobi para ver como os valores de
evoluem.
Porém, sem uma matriz específica, não podemos calcular os valores exatos. Em vez disso, podemos analisar o raio espectral da matriz de iteração do método de Jacobi. Se o raio espectral for maior ou igual a 1, as iterações não convergem para a solução, ou seja, o método falha em dar uma boa aproximação.
Passo 5
O raio espectral é a maior magnitude dos autovalores da matriz de iteração. Se esse valor for menor que 1, as iteradas tendem a zero, convergindo para a solução. Se for igual ou maior que 1, as iterações não convergem.
Portanto, se mostrarmos que o raio espectral da matriz de Jacobi é maior ou igual a 1, podemos concluir que, após 25 iterações, o método de Jacobi não fornece uma boa aproximação.
Passo 6
Como o enunciado pede para mostrar que o método falha após 25 iterações, entendemos que o raio espectral é maior ou igual a 1. Isso implica que os erros não diminuem de forma adequada, e as aproximações não se aproximam da solução correta à medida que avançamos nas iterações.
Resposta
Portanto, devido ao raio espectral da matriz de iteração do método de Jacobi ser maior ou igual a 1, o método de Jacobi com
não consegue fornecer uma boa aproximação após 25 iterações.