Verifique se
é anel, quando:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos ver se o conjunto
com as operações
(multiplicação) e
(adição) forma um anel. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos básicos de álgebra abstrata, especificamente sobre o que é um anel e quais são as propriedades que ele precisa ter.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto junto com duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, o conjunto precisa satisfazer algumas condições:
-
(A,
) deve ser um grupo abeliano: - Fechamento: A soma de dois elementos em
também está em . - Associatividade:
. - Elemento neutro: Existe um elemento em
que, quando somado a qualquer outro, não muda o valor (no caso, seria o 0). - Inversos: Para cada elemento em
, existe outro em que soma com ele dá o elemento neutro.
- Fechamento: A soma de dois elementos em
-
*(A, ) deve ser um semigrupo:
- Fechamento: A multiplicação de dois elementos em
também está em . - Associatividade:
.
- Fechamento: A multiplicação de dois elementos em
-
Distribuição:
-
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
:
1. Grupo abeliano com a operação
(adição):
- Fechamento: Se somarmos dois números racionais não nulos, o resultado pode ser zero. Por exemplo,
, que não está em . Portanto, não é fechado. - Elemento neutro: O elemento neutro para a adição é 0, mas 0 não está em
. - Inversos: Embora para cada
exista um tal que , como 0 não está em , isso não é válido aqui.
Como já falhamos no fechamento e na existência do elemento neutro,
não é um grupo abeliano.
Passo 4
2. Semigrupo com a operação
(multiplicação):
- Fechamento: A multiplicação de dois números racionais não nulos é outro número racional não nulo, então está fechado.
- Associatividade: A multiplicação de números racionais é associativa, então essa condição é satisfeita.
Portanto,
é um semigrupo.
Passo 5
3. Distribuição:
Mesmo que não seja um grupo abeliano, vamos verificar a distribuição:
Mesmo que
-
- Similarmente,
A distribuição é válida, mas, como já vimos, falta uma das condições principais para ser um anel.
Resposta
Não,
não é um anel porque a operação de adição
não forma um grupo abeliano em
.