Verifique se (A, *, triang<=) é anel, quando: A=Q-0, a * b=a b e a triang<= b=a+b;

Passo 1

Beleza, vamos ver se o conjunto com as operações (multiplicação) e (adição) forma um anel. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos básicos de álgebra abstrata, especificamente sobre o que é um anel e quais são as propriedades que ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto junto com duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, o conjunto precisa satisfazer algumas condições:
  1. (A, ) deve ser um grupo abeliano:
    • Fechamento: A soma de dois elementos em também está em .
    • Associatividade: .
    • Elemento neutro: Existe um elemento em que, quando somado a qualquer outro, não muda o valor (no caso, seria o 0).
    • Inversos: Para cada elemento em , existe outro em que soma com ele dá o elemento neutro.
  2. *(A, ) deve ser um semigrupo:
    • Fechamento: A multiplicação de dois elementos em também está em .
    • Associatividade: .
  3. Distribuição:

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para :
1. Grupo abeliano com a operação (adição):
  • Fechamento: Se somarmos dois números racionais não nulos, o resultado pode ser zero. Por exemplo, , que não está em . Portanto, não é fechado.
  • Elemento neutro: O elemento neutro para a adição é 0, mas 0 não está em .
  • Inversos: Embora para cada exista um tal que , como 0 não está em , isso não é válido aqui.
Como já falhamos no fechamento e na existência do elemento neutro, não é um grupo abeliano.

Passo 4

2. Semigrupo com a operação (multiplicação):
  • Fechamento: A multiplicação de dois números racionais não nulos é outro número racional não nulo, então está fechado.
  • Associatividade: A multiplicação de números racionais é associativa, então essa condição é satisfeita.
Portanto, é um semigrupo.

Passo 5

3. Distribuição:
Mesmo que não seja um grupo abeliano, vamos verificar a distribuição:
  • Similarmente,
A distribuição é válida, mas, como já vimos, falta uma das condições principais para ser um anel.

Resposta

Não, não é um anel porque a operação de adição não forma um grupo abeliano em .

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