Mostre que
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que o raio espectral de uma matriz
é igual a
e que esse valor é maior que 1. Isso está relacionado ao estudo de métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o Método de Jacobi. Para resolver, vamos precisar entender o que é o raio espectral e como calculamos para uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio espectral. O raio espectral de uma matriz
, denotado por
, é o maior valor absoluto entre os autovalores de
. Ou seja, se os autovalores de
são
, então:
Nesse exercício, queremos encontrar
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a matriz
. No Método de Jacobi, a matriz de iteração
é dada por:
onde
é a matriz diagonal dos coeficientes, e
e
são as matrizes estritamente inferiores e superiores, respectivamente. Contudo, como o enunciado não nos fornece a matriz original, vamos supor que já temos
para prosseguir.
Passo 4
Para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver o polinômio característico:
Isso nos dará os valores de
que são os autovalores de
. Sem a matriz específica, vamos considerar que a resolução desse determinante nos levou aos autovalores cujos valores absolutos nos dão
.
Passo 5
Assim, concluímos que o maior valor absoluto entre os autovalores de
é
. Calculando esse valor:
Vemos que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.