Seja T: R^3 longrightarrow R^2 uma transformação linear e B=v1, v2, v3 uma base do R^3, sendo v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0). Sabendo que T(v1)=(1,-2), T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2), determinar:
(a) T(x, y, z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que vai de para . Temos uma base de formada pelos vetores , e . Sabemos como age em cada um desses vetores da base, e queremos descobrir como ela age em um vetor qualquer de . Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor (x, y, z) = av1 + bv2 + cv3 como uma combinação linear dos vetores da base (x, y, z) = a(0,1,0) + b(1,0,1) + c(1,1,0) . Ou seja, queremos encontrar coeficientes 0a + 1b + 1c = x 1a + 0b + 1c = y 0a + 1b + 0c = z , e tais que:
Substituindo os vetores:
Isso dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar b = z , z + c = x implies c = x - z e a + (x - z) = y implies a = y - x + z .
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:

Passo 4

Agora que temos T(x, y, z) = T(av1 + bv2 + cv3) = aT(v1) + bT(v2) + cT(v3) , = a(1, -2) + b(3, 1) + c(0, 2) e = (a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot 0,, a cdot (-2) + b cdot 1 + c cdot 2) , podemos aplicar a transformação = ((y - x + z) + 3z,, -2(y - x + z) + z + 2(x - z)) usando a linearidade:
= (y - x + 4z,, -2y + 2x - 2z + z + 2x - 2z)
Substituindo os valores dados:
= (y - x + 4z,, 4x - 2y - 3z)
Substituindo , e :
Simplificando:

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = (, y - x + 4z,; 4x - 2y - 3z, ) é dada por:

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