Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação (r min ) entre a partícula alpha e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento (theta) é dada pela equação
rmin =Z e^2(1 / 2) m v0^2[1+1sin theta2],
onde Z é o número atômico; e é a carga elementar do elétron e m e v0 são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula alpha.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, no modelo de Rutherford, a menor distância que uma partícula α chega de um núcleo, chamada de , está relacionada ao ângulo de espalhamento . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e momento angular, além da força de repulsão elétrica entre as partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia cinética inicial da partícula α, que está se aproximando do núcleo com velocidade Ecinética = 12 m v0^2 . A energia cinética é dada por:
é
onde é a massa da partícula α.

Passo 3

Quando a partícula α se aproxima do núcleo, ela sofre uma força de repulsão elétrica devido às cargas positivas. A energia potencial elétrica nessa posição é:
U = Z e^24 pi varepsilon0 r
Aqui, é o número atômico, é a carga elementar do elétron, e é a distância entre a partícula α e o núcleo.

Passo 4

No ponto de menor aproximação 12 m v0^2 = Z e^24 pi varepsilon0 rmin , toda a energia cinética da partícula é convertida em energia potencial elétrica. Assim, podemos igualar as duas energias:

Passo 5

Resolvendo para rmin = Z e^24 pi varepsilon0 ( 12 m v0^2 ) = Z e^22 pi varepsilon0 m v0^2 :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar theta = pi - 2 phi com o ângulo de espalhamento . No modelo de Rutherford, essa relação é dada por:
onde é o ângulo de deflexão da partícula.

Passo 7

Usando trigonometria e a conservação do momento angular, conseguimos derivar que:
rmin = Z e^212 m v0^2 [ 1 + 1sin theta2 ]

Resposta

Portanto, demonstramos que a menor distância de aproximação rmin = Z e^2(12) m v0^2 [1+1sin theta2] em função do ângulo de espalhamento é dada por:

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