Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação entre a partícula e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento é dada pela equação
onde Z é o número atômico; é a carga elementar do elétron e e são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, no modelo de Rutherford, a menor distância que uma partícula α chega de um núcleo, chamada de , está relacionada ao ângulo de espalhamento . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e momento angular, além da força de repulsão elétrica entre as partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia cinética inicial da partícula α, que está se aproximando do núcleo com velocidade . A energia cinética é dada por:
é
onde é a massa da partícula α.

Passo 3

Quando a partícula α se aproxima do núcleo, ela sofre uma força de repulsão elétrica devido às cargas positivas. A energia potencial elétrica nessa posição é:
Aqui, é o número atômico, é a carga elementar do elétron, e é a distância entre a partícula α e o núcleo.

Passo 4

No ponto de menor aproximação , toda a energia cinética da partícula é convertida em energia potencial elétrica. Assim, podemos igualar as duas energias:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar com o ângulo de espalhamento . No modelo de Rutherford, essa relação é dada por:
onde é o ângulo de deflexão da partícula.

Passo 7

Usando trigonometria e a conservação do momento angular, conseguimos derivar que:

Resposta

Portanto, demonstramos que a menor distância de aproximação em função do ângulo de espalhamento é dada por:

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