Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação
entre a partícula
e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento
é dada pela equação
onde Z é o número atômico;
é a carga elementar do elétron e
e
são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, no modelo de Rutherford, a menor distância que uma partícula α chega de um núcleo, chamada de
, está relacionada ao ângulo de espalhamento
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e momento angular, além da força de repulsão elétrica entre as partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia cinética inicial da partícula α, que está se aproximando do núcleo com velocidade
. A energia cinética é dada por:
onde
é a massa da partícula α.
Passo 3
Quando a partícula α se aproxima do núcleo, ela sofre uma força de repulsão elétrica devido às cargas positivas. A energia potencial elétrica nessa posição é:
Aqui,
é o número atômico,
é a carga elementar do elétron, e
é a distância entre a partícula α e o núcleo.
Passo 4
No ponto de menor aproximação
, toda a energia cinética da partícula é convertida em energia potencial elétrica. Assim, podemos igualar as duas energias:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar
com o ângulo de espalhamento
. No modelo de Rutherford, essa relação é dada por:
onde
é o ângulo de deflexão da partícula.
Passo 7
Usando trigonometria e a conservação do momento angular, conseguimos derivar que:
Resposta
Portanto, demonstramos que a menor distância de aproximação
em função do ângulo de espalhamento
é dada por:
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Estime o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associados a um elétron com massa
e:
(a) Velocidade igual a ;
(a) Velocidade igual a
Na superfície da Terra, uma área de
, perpendicular aos raios solares, recebe
de energia irradiada por segundo. Sabendo que o raio do Sol é da ordem de
, e que a distância Sol-Terra é da ordem de
. Determine a temperatura na superfície do Sol (supondo que ele seja um corpo negro).
O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(a) Classifique este estado como estacionário ou não estacionário;
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onde
é a constante de Boltzmann e
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