Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação
entre a partícula
e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento
é dada pela equação
onde Z é o número atômico;
é a carga elementar do elétron e
e
são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, no modelo de Rutherford, a menor distância que uma partícula α chega de um núcleo, chamada de
, está relacionada ao ângulo de espalhamento
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e momento angular, além da força de repulsão elétrica entre as partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia cinética inicial da partícula α, que está se aproximando do núcleo com velocidade
. A energia cinética é dada por:
onde
é a massa da partícula α.
Passo 3
Quando a partícula α se aproxima do núcleo, ela sofre uma força de repulsão elétrica devido às cargas positivas. A energia potencial elétrica nessa posição é:
Aqui,
é o número atômico,
é a carga elementar do elétron, e
é a distância entre a partícula α e o núcleo.
Passo 4
No ponto de menor aproximação
, toda a energia cinética da partícula é convertida em energia potencial elétrica. Assim, podemos igualar as duas energias:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar
com o ângulo de espalhamento
. No modelo de Rutherford, essa relação é dada por:
onde
é o ângulo de deflexão da partícula.
Passo 7
Usando trigonometria e a conservação do momento angular, conseguimos derivar que:
Resposta
Portanto, demonstramos que a menor distância de aproximação
em função do ângulo de espalhamento
é dada por: