Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação
entre a partícula
e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento
é dada pela equação
onde Z é o número atômico;
é a carga elementar do elétron e
e
são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula
.
onde Z é o número atômico;
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre o modelo de Rutherford. Basicamente, a gente precisa provar que a menor distância de aproximação (
) entre uma partícula alfa e o núcleo é dada pela equação:
Aqui,
é o número atômico,
é a carga do elétron,
é a massa da partícula alfa,
é a velocidade inicial dela, e
é o ângulo de espalhamento. Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada coisa para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Rutherford, uma partícula alfa (que é tipo um núcleo de hélio, com carga positiva) se aproxima de um núcleo atômico e sofre uma força de repulsão eletrostática devido às cargas positivas. Essa força faz com que a partícula alfa desvie de sua trajetória original.
A menor distância de aproximação (
) é o ponto mais próximo que a partícula alfa chega do núcleo antes de ser completamente desviada. Para encontrar essa distância, vamos usar a conservação da energia e a conservação do momento angular.
Passo 3
Vamos começar com a conservação da energia. A energia cinética inicial da partícula alfa é transformada em energia potencial eletrostática no ponto de menor distância. A energia cinética inicial é dada por:
A energia potencial eletrostática entre duas cargas positivas é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Na menor distância de aproximação, toda a energia cinética é convertida em energia potencial, então:
Passo 4
Agora, vamos considerar a conservação do momento angular. O momento angular inicial da partícula alfa é zero, porque ela está se movendo diretamente em direção ao núcleo. No entanto, ao desviar, ela ganha um momento angular devido à força de repulsão.
O momento angular (
) é dado por:
Onde
é o parâmetro de impacto, que é a distância mínima que a partícula seguiria caso não houvesse nenhuma força atuando sobre ela.
No ponto de menor distância, o momento angular também pode ser expresso como:
Aqui,
é a componente perpendicular da velocidade no ponto de menor distância.
Passo 5
Igualando as duas expressões para o momento angular:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, precisamos relacionar
com o ângulo de espalhamento
. No modelo de Rutherford, o ângulo de espalhamento está diretamente relacionado ao parâmetro de impacto
e à energia da partícula.
A relação entre o ângulo
e o parâmetro de impacto
é dada por:
Passo 6
Rearranjando essa equação para encontrar
:
Agora, substituímos
na equação do momento angular:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltando à conservação da energia:
Resolvendo para
:
Passo 8
Por fim, combinando as equações obtidas e rearranjando os termos, chegamos à expressão desejada para
em função do ângulo de espalhamento
:
Resposta
Portanto, mostramos que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação
entre a partícula
e o núcleo é dada por: