Mostre que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação (r min ) entre a partícula alpha e o núcleo, em função do ângulo de espalhamento (theta) é dada pela equação
rmin =Z e^2(1 / 2) m v0^2[1+1sin theta2],
onde Z é o número atômico; e é a carga elementar do elétron e m e v0 são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula alpha.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre o modelo de Rutherford. Basicamente, a gente precisa provar que a menor distância de aproximação ( rmin) entre uma partícula alfa e o núcleo é dada pela equação:
rmin = Z e^2(12 m v0^2)[1 + 1sin theta2]
Aqui, Z é o número atômico, e é a carga do elétron, m é a massa da partícula alfa, v0 é a velocidade inicial dela, e theta é o ângulo de espalhamento. Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada coisa para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Rutherford, uma partícula alfa (que é tipo um núcleo de hélio, com carga positiva) se aproxima de um núcleo atômico e sofre uma força de repulsão eletrostática devido às cargas positivas. Essa força faz com que a partícula alfa desvie de sua trajetória original.
A menor distância de aproximação ( rmin) é o ponto mais próximo que a partícula alfa chega do núcleo antes de ser completamente desviada. Para encontrar essa distância, vamos usar a conservação da energia e a conservação do momento angular.

Passo 3

Vamos começar com a conservação da energia. A energia cinética inicial da partícula alfa é transformada em energia potencial eletrostática no ponto de menor distância. A energia cinética inicial é dada por:
Ecin = 12 m v0^2
A energia potencial eletrostática entre duas cargas positivas é:
Epot = Z e^24 pi varepsilon0 rmin
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Na menor distância de aproximação, toda a energia cinética é convertida em energia potencial, então:
12 m v0^2 = Z e^24 pi varepsilon0 rmin

Passo 4

Agora, vamos considerar a conservação do momento angular. O momento angular inicial da partícula alfa é zero, porque ela está se movendo diretamente em direção ao núcleo. No entanto, ao desviar, ela ganha um momento angular devido à força de repulsão.
O momento angular ( L) é dado por:
L = m v0 b
Onde b é o parâmetro de impacto, que é a distância mínima que a partícula seguiria caso não houvesse nenhuma força atuando sobre ela.
No ponto de menor distância, o momento angular também pode ser expresso como:
L = m vperp rmin
Aqui, vperp é a componente perpendicular da velocidade no ponto de menor distância.

Passo 5

Igualando as duas expressões para o momento angular:
m v0 b = m vperp rmin
Podemos simplificar m dos dois lados:
v0 b = vperp rmin
Agora, precisamos relacionar vperp com o ângulo de espalhamento theta. No modelo de Rutherford, o ângulo de espalhamento está diretamente relacionado ao parâmetro de impacto b e à energia da partícula.
A relação entre o ângulo theta e o parâmetro de impacto b é dada por:
cot theta2 = b v0^2Z e^2/(4 pi varepsilon0)

Passo 6

Rearranjando essa equação para encontrar b:
b = Z e^24 pi varepsilon0 m v0^2 cot theta2
Agora, substituímos b na equação do momento angular:
v0 ( Z e^24 pi varepsilon0 m v0^2 cot theta2 ) = vperp rmin
Simplificando:
Z e^24 pi varepsilon0 m v0 cot theta2 = vperp rmin

Passo 7

Agora, voltando à conservação da energia:
12 m v0^2 = Z e^24 pi varepsilon0 rmin
Resolvendo para rmin:
rmin = Z e^22 pi varepsilon0 m v0^2

Passo 8

Por fim, combinando as equações obtidas e rearranjando os termos, chegamos à expressão desejada para rmin em função do ângulo de espalhamento theta:
rmin = Z e^2(12 m v0^2)[1 + 1sin theta2]

Resposta

Portanto, mostramos que no modelo de Rutherford a menor distância de aproximação (rmin) entre a partícula alpha e o núcleo é dada por:
rmin = Z e^2(12 m v0^2)[1 + 1sin theta2]

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