Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação . Encontre a velocidade escalar em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a velocidade escalar de uma partícula que está se movendo numa trajetória elíptica. A equação da posição da partícula é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente como derivar vetores em relação ao tempo para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da partícula. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da equação da posição:

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  1. Para o primeiro termo, , a derivada em relação ao tempo é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função cosseno: a derivada de é .
  1. Para o segundo termo, , a derivada é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função seno: a derivada de é .

Passo 4

Agora, juntando as derivadas que encontramos, a velocidade vetorial fica:

Passo 5

Para encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vetorial, usamos o teorema de Pitágoras para vetores:
Simplificando, temos:

Resposta

A velocidade escalar em função do tempo é:

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Prove que , onde é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
Uma partícula se move num círculo de raio . Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação para que valor, ou valores de o vetor aceleração forma um ângulo de com o vetor velocidade?
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por . Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.