Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação
. Encontre a velocidade escalar em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a velocidade escalar de uma partícula que está se movendo numa trajetória elíptica. A equação da posição da partícula é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente como derivar vetores em relação ao tempo para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da partícula. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da equação da posição:
Passo 3
Vamos derivar termo a termo:
- Para o primeiro termo,
, a derivada em relação ao tempo é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função cosseno: a derivada de
é .
- Para o segundo termo, , a derivada é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função seno: a derivada de é
.
Passo 4
Agora, juntando as derivadas que encontramos, a velocidade vetorial fica:
Passo 5
Para encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vetorial, usamos o teorema de Pitágoras para vetores:
Simplificando, temos:
Resposta
A velocidade escalar em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Prove que
, onde
é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
Uma partícula se move num círculo de raio
. Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação
para que valor, ou valores de
o vetor aceleração forma um ângulo de
com o vetor velocidade?
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é
A posição de uma partícula é dada em coordenadas polares planas por
. Mostre que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante a proporção que a partícula se move para fora numa trajetória em espiral.