Mostre que o movimento circular uniforme pode ser decomposto em dois movimentos harmônicos simples ao longo de dois eixos ortogonais com origem no centro da circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que um movimento circular uniforme (MCU) pode ser dividido em dois movimentos harmônicos simples (MHS) ao longo de dois eixos que formam um ângulo de 90° e que têm o centro da circunferência como origem. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre MCU e MHS, e como decompor vetores em componentes ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um movimento circular uniforme. No MCU, um objeto se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante, ou seja, a mesma quantidade de rotação por unidade de tempo. A posição do objeto em qualquer instante pode ser descrita por um ângulo θ que varia com o tempo.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois eixos perpendiculares, digamos o eixo x e o eixo y, que passam pelo centro da circunferência. A ideia é decompor a posição do objeto no MCU em suas componentes ao longo desses eixos.

Passo 4

A posição do objeto no MCU pode ser representada pelo vetor posição:
Aqui, é o raio da circunferência, é o ângulo em função do tempo, e e são os vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente.

Passo 5

Como o movimento é uniforme, a velocidade angular é constante e . Substituindo na expressão do vetor posição:

Passo 6

Observamos que a componente x, , e a componente y, , são funções de cosseno e seno, respectivamente. Essas são justamente as funções que descrevem um movimento harmônico simples.

Passo 7

Portanto, cada componente do MCU ao longo dos eixos x e y realiza um MHS. O movimento ao longo de x é e o movimento ao longo de y é .

Resposta

Assim, mostramos que o movimento circular uniforme pode ser decomposto em dois movimentos harmônicos simples, dado por:

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