Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial, que é uma equação que envolve funções e suas derivadas. O enunciado é , com as condições iniciais e . O que a gente quer é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, precisamos usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reordenar a equação para facilitar a nossa vida. A equação original era:
Vamos simplificar isso um pouco:
Agora, a equação característica associada ao lado homogêneo (parte que não tem ) da equação é:
Resolvendo isso, vamos fatorar:
Então a solução da equação característica nos dá uma raiz dupla .
A solução geral para a parte homogênea, então, é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da nossa equação, que é . Vamos usar o método de coeficientes indeterminados. A gente imagina uma solução particular da forma:
porque a solução homogênea já tem o termo . Agora precisamos derivar e substituir na equação original.
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
Substituindo , e de volta na equação , e vamos igualar os coeficientes para descobrir , e .
(Agora, vamos fazer essa parte mais rapidamente, mas é importante fazer essas substituições e igualar)
Após o cálculo, você vai achar que , e . Então, nossa solução particular fica:

Passo 4

Agora, nossa solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais.
Para :
Agora, para . Precisamos derivar nossa função e substituir também. Fazendo isso, você irá encontrar que .
Então, a solução final ficou assim:

Resposta

A solução do problema de valor inicial dado é:

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