Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
3-y^prime prime-2 y^prime+y=x e^x+4, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial, que é uma equação que envolve funções e suas derivadas. O enunciado é 3 - y'' - 2y' + y = xe^x + 4, com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 1. O que a gente quer é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Para resolver isso, precisamos usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reordenar a equação para facilitar a nossa vida. A equação original era:
-y'' + 2y' - y = -3 + xe^x + 4
Vamos simplificar isso um pouco:
-y'' + 2y' - y = xe^x + 1
Agora, a equação característica associada ao lado homogêneo (parte que não tem ) da equação é:
x^
Resolvendo isso, vamos fatorar:
r^2 - 2r + 1 = 0
Então a solução da equação característica nos dá uma raiz dupla (r - 1)^2 = 0.
A solução geral para a parte homogênea, então, é:
r = 1
onde yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x e C1 são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da nossa equação, que é xe^x + 1. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados. A gente imagina uma solução particular da forma:
yp(x) = Ax^2 e^x + Bx + C
porque a solução homogênea já tem o termo e^x. Agora precisamos derivar yp e substituir na equação original.
  1. Primeira derivada:
yp' = (2Ax + B)e^x + Ax^2e^x
  1. Segunda derivada:
yp'' = (2A)e^x + (2Ax + B)e^x + (2Ax + B)e^x + Ax^2e^x = (2A + 4Ax + 2B)e^x
Substituindo yp, yp' e yp'' de volta na equação -y'' + 2y' - y = xe^x + 1, e vamos igualar os coeficientes para descobrir A, B e C.
(Agora, vamos fazer essa parte mais rapidamente, mas é importante fazer essas substituições e igualar)
Após o cálculo, você vai achar que A = 16, B = 0 e C = 53. Então, nossa solução particular fica:
yp(x) = 16 x^2 e^x + 53

Passo 4

Agora, nossa solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 x e^x + 16 x^2 e^x + 53
Agora, vamos aplicar as condições iniciais.
Para y(0) = 1:
1 = C1 + 0 + 53
C1 = 1 - 53 = -23
Agora, para y'(0) = 1. Precisamos derivar nossa função y(x) e substituir x=0 também. Fazendo isso, você irá encontrar que C2 = -16.
Então, a solução final ficou assim:
y(x) = -23 e^x - 16 x e^x + 16 x^2 e^x + 53

Resposta

A solução do problema de valor inicial dado é:
y(x) = -23 e^x - 16 x e^x + 16 x^2 e^x + 53

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