Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vamos entender o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial, que é uma equação que envolve funções e suas derivadas. O enunciado é
, com as condições iniciais
e
. O que a gente quer é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, precisamos usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reordenar a equação para facilitar a nossa vida. A equação original era:
Vamos simplificar isso um pouco:
Agora, a equação característica associada ao lado homogêneo (parte que não tem ) da equação é:
Resolvendo isso, vamos fatorar:
Então a solução da equação característica nos dá uma raiz dupla
.
A solução geral para a parte homogênea, então, é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da nossa equação, que é
. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados. A gente imagina uma solução particular da forma:
porque a solução homogênea já tem o termo
. Agora precisamos derivar
e substituir na equação original.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo
,
e
de volta na equação
, e vamos igualar os coeficientes para descobrir
,
e
.
(Agora, vamos fazer essa parte mais rapidamente, mas é importante fazer essas substituições e igualar)
Após o cálculo, você vai achar que
,
e
. Então, nossa solução particular fica:
Passo 4
Agora, nossa solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais.
Para
:
Agora, para
. Precisamos derivar nossa função
e substituir
também. Fazendo isso, você irá encontrar que
.
Então, a solução final ficou assim:
Resposta
A solução do problema de valor inicial dado é: