Mostre que a multiplicação de um vetor por um escalar é um vetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que quando a gente multiplica um vetor por um escalar, o resultado ainda é um vetor. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente lida com vetores e operações entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um vetor, o que é um escalar e como funciona a multiplicação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é basicamente uma lista de números, chamados de componentes, que podem representar coisas como posição, velocidade, etc. Por exemplo, num espaço tridimensional, um vetor pode ser escrito como:
v = v1 v2 v3
Aqui, são os componentes do vetor.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre escalar. Um escalar é simplesmente um número real, digamos c cdot v = c cdot v1 v2 v3 = c v1 c v2 c v3 . Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse número. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Para mostrar que é um vetor, precisamos verificar se o resultado dessa multiplicação ainda está na mesma estrutura de um vetor. Observando a operação que fizemos, cada componente foi multiplicado por , resultando em novos componentes .

Passo 5

Como cada componente do vetor original foi transformado por uma operação de multiplicação por um escalar, o novo conjunto de componentes c v1 c v2 c v3 ainda mantém a estrutura de um vetor. Ou seja, continua sendo uma lista ordenada de números.

Resposta

Portanto, demonstramos que a multiplicação de um vetor por um escalar resulta em outro vetor, mantendo a estrutura e as propriedades necessárias para ser considerado um vetor.

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